用幾何畫板畫橢圓的六種方法

橢圓在平面解析幾何的教學中是一個重要的內容，利用幾何畫板軟件可以很準確地畫出橢圓圖形，為教師的教和學生的學都帶來了方便。下面介紹六種畫橢圓的方法。

1. 利用橢圓定義

橢圓定義：到兩定點的距離之和為定長的點的軌跡。利用此定義來畫，步驟如下：

(3) 構造線段PF 的中垂線MN，與線段PF 交于M，與線段PF 交于N；

(4) 構造點P在圓上的動畫，追蹤點M，M的軌跡就是橢圓（如圖1）。

2. 利用菱形畫橢圓

步驟如下：

(1) 畫一個菱形ABCD，對稱軸為AC、BD；

(2) 過D構造AB上的垂線，垂足為P，DP交AC于O，標記AC、BD為鏡面，做出點P關于AC的對稱點P′，關于BD的對稱點P″；

(3) 順次選取OPP′構造圓上的弧，再以BD為鏡面，構造出對稱弧；

(4) 順次選取DP″P構造圓上的弧，再以AC為鏡面，構造出對稱弧，四段弧圍成橢圓（如圖2）。

3. 利用定長線段的滑動

一條線段AB(｜AB｜=2a)的兩端A和B分別在x軸和y軸上滑動，線段AB的中點的軌跡就是橢圓。

步驟如下：

(1) 建立坐標系xoy，在x軸上任取一點M，構造線段OM，使｜OM｜=｜AB｜=2a；

(2) 在線段OM上任取一點A，以A為圓心，以OM為半徑構造圓，交y軸于點B；

(3) 構造線段AB，在AB上任取一點P（非中點），利用點反射或旋轉構造點P關于x軸、y軸、原點的對稱點P″、P′、P?蓯，追蹤點P、P′、P″、P?蓯；

(4) 構造點A在線段OM上的動畫，點P、P′、P″、P?蓯的軌跡就是橢圓（如圖3）。

值得一提的是橢圓規就是利用這個原理制成的，只不過點P取在了線段AB的延長線上。

4. 利用參考圓畫橢圓

步驟如下：

(1) 以原點O為圓心，分別以a、b(a＞b)為半徑做兩個圓；

(2) 任取大圓上的一點A，構造線段OA交小圓于點B，過點A作AN⊥OX（x軸），垂足為N；

(3) 過點B作BM⊥AN，垂足為M，構造點M關于y軸的對稱點M′，追蹤點M和M′；

(4) 構造點A在大圓上的動畫，點M、M′的軌跡就是橢圓（如圖4）。

5. 利用圓錐曲線的統一定義

我們知道，圓錐曲線的統一定義是與一個定點的距離和一條定直線的距離的比為常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時，點的軌跡就是橢圓。

步驟如下：

(1) 畫兩線段AB、CD，計算兩線段的比e= ，保證0＜e＜1；

(2) 畫定點F，定直線L，過點F構造L的垂線L′；

(3) 在L′上任取一點P，過點P構造直線L的平行線L″；

(4) 度量直線L與L″的距離d，計算d·e；

(5) 以定點F為圓心，以d·e的值為半徑構造圓，與直線L″交于M和M′，追蹤M和M′；

(6) 構造點P在直線L′上的動畫，點M和M′的軌跡就是橢圓（如圖5）。

6. 利用橢圓函數畫橢圓

根據橢圓標準方程：y=± ，給出一系列x值，計算相應的y值，利用幾何畫板的繪制函數圖像功能即得。步驟如下：

(1) 建立坐標系，畫線段AB、CD，度量｜AB｜=a，｜CD｜=b；

(2) 在x軸上任取一點X，測算點A的橫坐標，記為x；

(3) 利用計算功能，求出y=± 的值；

(4) 利用圖表菜單繪制坐標(x，y)，記為點M，構造點M關于x軸的對稱點M′；

(5) 順次選取點X、M和點X、M′，構造軌跡，即得橢圓圖像（如圖6）。

值得一提的是，在畫圖像的過程中，我們會感受到幾何量之間的邏輯關系和數量關系，會使對橢圓有更深刻的認識，有興趣的教師和學生不妨一試。

說明：限于文章篇幅的關系，本文略去了對作圖原理的說明或證明。所有圖像均用幾何畫板制作。

此文為基金課題：連云港師范高等專科學校2007年校級立項課題，編號：2007

此文的創新點：為數學教師提供橢圓教學的資料，為學生進一步深刻了解橢圓性質做基礎。

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。