一般化與特殊化策略在數學上的幾個應用

回顧我們處理數學問題的過程和經驗發現，我們常常是將待解決的陌生問題通過轉化，歸結為一個比較熟悉的問題來解決。因為這樣就可以充分調動和運用我們已有的知識、經驗和方法利于問題的解決。這就是我們所說的應用化歸來解決數學問題的一個重要方法。一般化與特殊化策略是化歸思想中的一個比較突出的思維方法，對我們解決較復雜、難度較大的數學問題有很大的幫助。下面我就從幾個例子的應用來說明。

具體來講，一般化與特殊化策略是從“特殊到一般”和從“一般到特殊”。

這道題可以直接證明，但是我們通過考慮它的一般情況來證明更為簡單。比較

與n!的大小，從

這種將待解﹑待證問題看成特殊問題，通過對它的一般形式問題的解決而得到原問題解的化歸策略就是一般化策略。

與此相反，對于待解或待證問題，先解決它的特殊情況，然后把解決特殊情況的方法或結果應用到一般情況，使原問題獲解的策略就是特殊化策略。下面我們看一個例子。

例2：給定平面上n個點，證明可以作n+1個同心圓。滿足條件：①這n+1個同心圓的半徑都是其中最小半徑的整數倍；②這n+1個同心圓所成的圓環中，每個圓環恰含一個已知點。

解：該問題的解決分兩步，先解決其特殊情況，再把一般情況化歸為特殊情況解決。

一般情況可化歸為上述特殊情況來解決。對于平面上n個點，聯結兩點的線段的垂直平分線至多有C 條。我們可取異于這有限條垂直平分線的直線L為x軸，再取異于這n個已知點，且異于垂直平分線與L交點的點為原點O，則O點到n個已知點的距離各不相同，問題也就可以化歸為n個點在同一直線的情況。

一般化策略不僅有助于命題的推廣，而且是解決問題的有效途徑。這是因為，一般化命題中的結構和規律更為清楚。運用一般化策略的關鍵是仔細觀察、分析問題的特征，從中找出能使命題一般化的因素。

另一種意義下的一般化是標準型化，即把標準形式的東西看作一般，凡是化歸為標準形式處理問題的策略都看作為一般化。數形轉換也是把一般轉化特殊的一種常用辦法，如：

分析：從已知條件中的結構關系，挖掘特殊因素，實現數形轉換。若把a 看作正方形的邊長，則條件(ⅱ)也即邊長之和為300，條件(ⅲ)也即以a 為邊的正方形面積之和大于10000，因此，可以把問題轉換到幾何圖形中去考慮。

簡證：假設，那么將這些以a(i=1，2，…，100)為邊的正方形依次一個接一個排起來時，它們全部落在長為300，寬為100的矩形內（見圖）。

將這個矩形分為三個邊長為100的正方形，則在我們的假設條件“a +a +a ≤100”下，第一個正方形可分為互不重疊的三個小矩形，它們的寬分別為

由已知條件(ⅰ)，可將第二三個正方形中的以a (i≥3)為邊的正方形全部移到以a ，a 為寬的小矩形中，此說明與已知矛盾，故假設不成立，即a +a +a ＞100得證。

由上可知，挖掘命題中的特殊因素對于促進問題的轉化，實現化歸是十分重要的。一般來說，我們可以從以下幾個方面來研究：

（1）設法找出一種使結論顯然成立或較易證明的特殊情況從中得到啟示，去發現或猜測一般情況或一般方法。

（2）從不同角度進行特殊化，尋找問題的突破口，如考慮極端情況、數形轉換。

（3）注意分析，抓住問題中特殊的數量關系，或部分元素之間的關系，找出問題的切如點。

正確應用化歸思想，尤其是一般與特殊策略的應用，對我們解決較復雜和難度較大的題目提供了一個切實可行的解題思路。

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