證券組合投資模型優化

[摘要] 以Markowitz證券組合投資理論為基礎，對于幾種不同證券組合投資模型分別考慮了證券組合的收益，風險，交易費等因素條件下對模型進行了優化，并對文中模型做了進一步的擴展。為投資者正確選擇證券組合投資的最優策略及應用方面提供參考。

[關鍵詞] 組合投資 協方關差 投資模型 有效解

一、引言

眾所周知，為了解決單階段組合投資問題， 美國經濟學家Markowitz利用一定時間內的某種證券收益率的數學期望和方差， 分別衡量該種證券的獲利能力和風險， 獲得了著名的Markowitz均值——方差模型中風險的衡量方法; 但在該模型的風險度量中，將證券的實際收益的不確定性、交易費用、無風險資產等實際因素不加以區分地引入風險評估，使實際收益率不論高于期望收益，還是低于期望收益，都被認為是有相同的風險。而投資活動是一種有偏向性的活動，風險損失主要來源于低于預期收益的那些投資。如果投資收益率超過投資者的預期收益則為風險報酬，投資者并無損失，反而受益。針對Markowitz模型的不足，不少學者給出了證券組合投資的改進模型，如交在期望半方差(E--Sv)風險測度條件下，針對帶有交易費的投資組合優化問題進行了研究，提出了一種變形Γ-分布來描述股票的收益，給出了分布中參數的確定方法。運用目標規劃的方法建立一種新的證券組合投資訣策模型。而又通過引入衡量投資者風險喜好的風險偏好參數，把區間數線性規劃問題轉化為確定型參數規劃問題。本文通過對幾種不同類型的證券組合投資模型分別考慮了收益、風險、交易費等因素條件下的優化，并對文獻中的模型做了一般擴展與分析討論，得到最優化策略的調整方案，使模型更符合實際。

二、模型介紹

1.證券組合投資的Γ——分布模型

設投資者選定n種風險證券進行投資，它們的收益率γ(1≤i≤n )是隨機變量，令其分別服從Γ-分布， 即:

（1）

其中α＞0，β＞0 。由于

取最小值， 可以確定αi，βi，k，kj分別表示子樣中收益率落在 [-1，y1]，[yj-1，yj]，[yn-1，∞]上的頻數， 在此，y1，y2，…yn為股票(證券)收益率取值區間[-1，∞]上一個分割。于是第i種股票的期望收益率為：

(2)

以及收益率方差為:

(3)

相應地， 第i，j兩支證券的收益率的協方差為:

(4)

令

(5)

設E[（y-p）]2和E[（y+p+1）]2表示第P種證券投資組合收益率γp的兩個半方差(給出表達式)，分別記為:D-（γp）和D+（γp），則有

(6)

(7)

由此有:

(8)

i，j兩種股票(證券)收益率的半協方差為:

(10)

則有:

(11)

(12)

Wi(i=1，2，…n)為第i種證券投資權因子，用D-(γp)衡量證券(股票)組合投資的風險，得到期望半方差風險度量下的證券組合模型(MOPI)

2.證券組合投資的目標規劃——GP模型

設投資者選擇了一種無風險和n種有風險的證券進行組合投資，用ROt表示無風險證券S0在特有期t內的投資收益率， 用Rit表示第i種有風險證券Si在特有期t內現投資收益率，在此1≤i≤n，1≤t≤T， 用x0t，x1t分別表示無風險證券和第i種風險證券Si所占總投資的比例，則n+1維向量:xit=x(x0t，x1t，xnt)為投資者在持有期內的一種證券投資組合，且，用σ表示第i收益率的標準方差，ρij表示證券i與證券j的相關系數，σij表示證券i與證券j收益率的協方差。于是，n+1種證券組合的期望收益和方差分別是:

(13)

(14)

本文考慮的問題是要求證券組合投資滿足:(1)投資者盡量將全部資金投入到這n+1種資產中;(2)使總收益盡可能高(P2 ?)，(3)風險盡可能小(P3)。w+i，w-i是對應偏差變量d-i，d+id在Pi層的權因子，證券組合投資的目標規劃—GP模型(MOPⅡ)為:

其中d+1，d-1 分別表示投資額的正負偏差;d+2，d-2分別表示高于、低于預期收益率Re;d+3，d-3分別表示高于可承受、少于可承受的風險率;σe2表示期望方差。

3.證券組合投資的區間數線性規劃模型

設投資者選擇了一種無風險證券和n種有風險證券進行組合投資，分別以R0t，Rit表示無風險證券和第i種有風險證券Si在t持有期內的投資收益率，以x0t，xit分別表示無風險證券S0和第i種風險證券Si不所占總投資的比例，在此，1≤i≤n，1≤t≤T，則n+1維向量Xt=(x0t，x1t，…xnt)為投資者持有n+1種證券的投資組合，且組合投資模型為(MOPIII):

其中，表示持有期t內第i種風險證券獲取收益的范圍;表示證券風險的控制范圍，即投資者對組合風險的承受限度;表示第i種風險證券Si風險損失率的范圍，即在一個投資周期內資產在發生風險時，可能的損失在總投資中所占的百分比。

三、考慮交易費用下的組合投資模型

1.推廣的Γ——分布模型

一般情況下，收益越大風險越大，也就是說投資者愿意以冒一定風險的代價來獲得高的投資收益，風險能夠低于他期望的風險率即可。對于總收益Rt的期望總是希望盡可能的高，遠遠超過預期的收益率Re。因而必須極小化其他因子，如β或qit，d+3等。設第i種證券的交易費，1≤i≤n， 其中≥0表示買入， ＝0表示不交易，＜0表示賣出。令Bi為第i種證券交易的交易費率，Bi≥0;用Cit=Bi表示第i種證券的交易費。所有風險證券在持有期內t的總交易費用為：

由于(MOPII)中的第三個約束條件是非線性的，求解較為困難，我們試圖取代此條件。為此設β是第i種證券的β值，(β值作為風險衡量的影子指標)由威廉·F·夏普的資本資產定價(CAPM)模型可知，回歸模型，

(20)

其中αit為第i種種證券的額外收益率指標εi不為殘值收益率。

2.推廣的GP模型

由最小二乘法估計可得，其中Cov(Ri.Rt)描述了第i種證券收益與總收益之間的相互變動聯系，而σ2描述了整個收益的波動狀況，從而能用βit反映第i種證券的風險程度，于是:

（21）

設βe為預期風險，d-3，d+3表示風險的負正偏差值，w+4，w-4為對應偏差變量d+3+k，d-3+k在P4層的權因子，從而得到MOPⅡ的推廣GP模型MOPⅡ2為：

四、模型的討論

由于證券交易的頻率增高，考慮到交易費在證券組合投資中的影響，由約束條件進一步完善和線性化，從而使模型MOPI1化為具有凸性條件下的二次規劃問題，于是可用有效解或對偶方法求解出滿意解（最優有效解），對于模型MOPⅡ2，可將其化為凸約束條件下多目標線性規化問題;從理論上可論證其最優有效解的存在性。 對于MOPⅢ3模型，可分別化為最大范圍約束解和最小范圍約束解。此模型可進一步推廣為帶s個目標約束和k個優先級目標及權因子的線性目標規劃數學模型為：

其中，P1，P2，…PK——目標的優先因子，是表示各個層次目標重要性程度的定量描述;di+，di-——正負偏差變量;w+m，w-m為偏差變量di+，di-在Pn層的權因子，n=1，2，…k. 總之，使優化后的模型存在滿意解。

五、結束語

證券組合投資的模型是十分豐富的，若我們將收益、風險、交易費等因素條件下對模型進行了優化后，就可從中選擇比較適合實際的優化模型，從而對各種模型定性和定量分析，并找出實際滿意解(有效解)，為證券組合投資作出科學決策和有效前沿提供數據，把握買入哪些證券，賣出哪些證券，創造良好的穩定的投資環境，為投資者提供參考價值。

參考文獻:

[1]Markowitz H.Portfolio Selection[J].Journal of Finance 1952.7:77～91

[2]Markowitz H.Portfolio Selection:Efficient Dirersification of lnvestments[M].New.york wiley 1959

[3]汪溫泉俞雪飛潘德惠:證券投資基金的一種投資組合選擇模型，系統工程學報2003.6.279~282

[4]胡達沙吳煒:目標規劃在證券組合投資中的應用運籌與管理2004.6.116～119

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”