極限與求導運算的復合函數教學法

摘要：本文探討了極限與求導運算的復合函數教學方法，指出對于初等函數的極限與求導，利用復合函數的運算法則，使學生能準確、熟練、靈活地解題，促進了思維的發展。

關鍵詞：初等函數 復合函數 極限 求導

初等函數是高等數學最常見的一類函數。微分學中研究的主要是初等函數的性質如：極限性質，可微性和可積性。在高等數學的學習過程中，對于一些基本的初等函數（如指數函數、對數函數、冪函數、三角函數、反三角函數），我們求其極限、微分都有公式，比較簡單，輕車熟路；而對于求解其它的初等函數就顯得比較復雜，容易出錯，甚至有一些都無從下手。我們知道，所謂初等函數是由基本初等函數和常數經過有限的四則運算與復合運算所得到的函數。因此，理解和掌握復合函數的極限運算法則、求導法則成為解決問題的關鍵。

一、極限運算

極限是高等數學中的最基本、最重要的概念，導數、積分等都是通過極限來定義的。在理解極限與連續的概念與性質之后，根據初等函數的性質：一切基本初等函數都是在其定義域上的連續函數，我們可以很方便地求出基本初等函數的極限。對于其它初等函數，我們可以利用極限的四則運算法則和復合函數的極限運算法則其它們的極限。關于復合函數的極限運算法則，主要有下面兩個定理：

二、求導運算

作為微分學的基本概念——導數與微分，求解函數的導數與微分對后續課程的學習非常重要。在學習的過程中，復合函數求導是導數運算的難點和重點，因此，掌握復合函數的導數運算對某些復雜的初等函數的求導就迎刃而解。關于復合函數求導運算，有下面的定理：

上述證明詳見參[1]。

當然對于由有限個函數復合而得的復合函數，只要每個函數都可導，則其復合函數也可導，并有類似于（3.1）、（3.2）的公式成立。復合函數的求導公式（3.1）、（3.2）也稱為鏈式法則。下面結合鏈式法則，談復合函數求導的幾點做法：

1．清楚地分析函數的復合關系，恰當地設置中間變量，把它分解成一些基本初等函數的復合。

2．要明確鏈武法則的適用條件，在分析所給的函數時，y=g(u)，u=f(v)，v=h(x)等分解表達式必須為一元函數。

3.運用鏈式法則時，由最外層開始，先使用法則，后使用導數基本公式， 由表及里、一層一層地求導，在求導過程中，一定要記清每一步是誰對誰(即什么函數對哪個變量)求導數，對前變量(即函數)求導后，在后邊應馬上乘以一個前變量對后變量求導因子，不能漏掉鏈式法則中的任何一個環節。

在舉例時，要突出上面解題過程，以達到鞏固之目的。如求y=ln2cosx的導數。首先體現出把y分解成簡單的函數鍵：y=lnu，u=2v，v=cosx，再叫學員判斷y，u，v的表達式均是一元函數，然后才可用鏈式法則。

解：由公式（3.2）有：

當學生能熟悉分解復合函數過程后，中間變量u，v就沒有再引進的必要(但這個方法初學者是完全必要的)，應采用“心記分解過程” 的求導方法可以提高學生解題的速度，如求y=tan 的導數。

解：由公式（3.2）有：

綜上所述，在極限與求導運算的教學過程中，首先叫學生掌握好基本初等函數和初等函數的概念，它們之間的聯系和區別。在此基礎上再重點講清函數的復合及復合函數的定義，掌握理解其表達式：y=g(u)，u=f(x)。為了鞏固這些概念，達到深刻地理解，做一些函數練習是非常必要的。如舉例叫學生辨別一些函數，哪些是基本初等函數，哪些是復合函數。在上面教學的基礎上，教學進入另一個進程，訓練學生作到準確地分析出函數的復合關系。為此要通過例題叫學生掌握“由外到內層層剝”的方法。例如：lncosarctanx 先引導學生利用復合函數的表達式一層一層地“剝”：y=lnu，u=cosv，y=arctanw，w=x 到此每一個函數都是基本初等函數，分析到底了。訓練學生學會上面的分析方法，為學會初等函數的求極限與求導打下基礎。

其次，利用基本初等函數的極限性質與求導公式，以及它們所對應的四則運算，再運用上面復合函數極限與求導運算法則，就可以很快地求得初等函數的極限與導數。

參考文獻：

［1］華東師范大學數學系.數學分析（第二版）.高等教育出版社，2002.

［2］沙萍等編.高等數學.東北大學出版社，2004.

［3］許新齋，馬軍英.關于復合函數的極限運算法則.山東師范大學學報(自然科學版)，2002.06.

［4］朱勻華等編.數學分析的思想方法.中山大學出版社，2001.

［5］于濱.復合函數求導教學中的幾點作法.科學教育論壇，2005年第16期.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。