對初中“概率”教學中幾個概念的理解

現在的初中數學教材中引入了“概率”的內容。但目前在這方面的教學中還有一些模糊的認識。下面就以下幾個問題談談一點看法。

隨機事件概率論是研究隨機現象的。隨機現象是指：在條件相同的情況下，做重復試驗，試驗結果卻不確定，以至于在試驗之前無法預料出現哪一個結果。我們把這時的試驗結果稱為“隨機事件”（通常把上述“條件相同情況下的重復試驗”稱為隨機試驗。但是，在初中引入這種概念的意義并不太大）。換句話說，隨機事件是和重復試驗緊密相連的，并非所有不確定的結果都是隨機事件。

目前出現的有兩種錯誤：

一、把目前尚不知道結論是否正確的命題當成了隨機事件。例如，哥德巴赫猜想是否成立、火星上是否有生命等。顯然，這些命題或結果沒有任何隨機性，它是完全確定的。只是人們至今尚未知道其結論而已。特別在數學中，凡是未被證明或否定的猜想都是這種命題，它們沒有任何隨機性，更不是隨機事件。

二、 把和重復試驗無關的不確定結果當成了隨機事件。例如，本·拉丹是否還活著、小李是否生病了等等。

對上述兩類問題，人們有時在言談中也會談到其發生的“可能性”。例如，人們會說“我看十有八九本·拉丹已經死了”、“我猜火星上有生命的可能性不到萬分之一”等等。但這只是一種猜測，和重復試驗無關。這樣一種猜測我們稱為“主觀概率”。它反映的是人們主觀的想法或愿望。其結論正確與否依賴于該人對所談事物了解的程度、依賴于該人的經驗和學識。研究主觀概率并非沒有意義。這種判斷在人們的生活工作中確實大量存在，特別是在許多決策問題中。在這種猜測或判斷中，經驗起著重要的作用，但它和重復試驗無關。一般來說，每個人的經驗和看法并不相同，主觀概率的大小因人而異。它不是概率論研究的內容（目前在統計中有一個強大的學派：貝葉斯學派，這一學派的理論是依賴主觀概率的）。

老師在講隨機事件時，所舉的例子一定要和重復試驗緊密相連，強調相同條件下的試驗（當然在現實生活中，條件不可能絕對相同）。

概率和頻率在初中數學中，概率的概念是通過頻率來介紹的。通常稱為概率的“統計”定義。事實上，這種定義只是一種描述性的說法，并不嚴格。因此，我們一定不要去細究這種說法在用詞上的含義（在現代數學中，“概率”是用公理化的方式給出的，超出了我們討論的范圍）。比如，我們說，當試驗次數很多時，頻率會“穩定”在一個常數附近。什么叫“穩定”就是含糊的，而且這個定義有“循環定義”之嫌。當我們說，如果試驗次數很多，頻率偏離這個常數大的可能性很小時，這里的“可能性”就是概率（類似的，在古典概率中的“等可能性”就是指概率相等，也是循環定義）。

事實上，概率的“統計”定義是概率論中貝努里大數律的文字描述，并非真正的定義。在概率論中，弱貝努里大

在大學學過實變函數論的老師們可以把弱大數律看成是頻率依概率測度收斂到概率，把強大數律看成是頻率幾乎處處收斂到概率（之所以不能把這里的P看成是概率的定義。是因為在上述式子里已經出現了概率P）。

在這部分的教學中，一方面要讓學生認識到頻率會“穩定”在概率附近，另一方面，也要認識到隨機性是本質的。有的老師總認為把一個均勻色子擲6次，就應該每個面都出現一次；把一個均勻硬幣擲10次，就應該出現5次正面5次反面。事實上，把一個均勻硬幣擲10次，“10次都是正面向上”發生的概率是 ，這個事件是完全可能發生的（平均來說，一萬個人做這個試驗，大概有9個人會得到這樣的結果）。又比如，把一個均勻硬幣擲100次，“100次中恰有50次正面向上”的概率是 ，這個值不大。因此，不能指望在課堂上做有限次的試驗，使得出的頻率一定靠近概率。認識到隨機性是很重要的。在課堂上做試驗時，有的老師總想讓頻率無限靠近概率，偏差大一些就覺得不好，甚至把這樣得到的數據去掉。這都是不對的，是對隨機性缺乏認識的結果。

在歷史上，孟德爾在大量試驗的基礎上建立了基因學說。在他的試驗中，幾乎所有的試驗結果，其頻率和概率接近的都非常好。因此，被不少概率教材（例如我國一些高中教材）作為例子，用它們來說明頻率的穩定性。但現代統計表明，如此“好”的結果幾乎是不可能出現的。這些試驗是不真實的，數據是假造的。因此，盡管孟德爾的基因學說是生物學中重要的成果，但有人猜測當初的試驗數據是被某些人員篡改過的。

在這部分教學中要讓學生對隨機的特性有一個好的認識，不要造成偏差。

試驗次數的確定我們希望在試驗中看到頻率很接近概率，即希望有

其中a是一個很小的正數，從而1-a接近于1。但是，在這里，當ε減少時，a會增大，從而1-a會減少。上述兩個要求是相互矛盾的，無法同時滿足，除非增加試驗次數n。

那么在給定了ε和a后，如何確定試驗次數n來同時滿足我們的要求呢？比如，我們希望頻率和概率的差ε=0.01，其發生的概率為1-a=0.95，試驗次數n至少要多少呢？

由中心極限定理知， 近似服從標準正態分布。因此，當1-a等于0.90，0.95，0.99時，分別近似等于1.64，1.96，2.58。這表明，如果要求所發生的概率1-a不小于，例如0.95，那么 要不小于1.96。當ε給定后，我們可以算出試驗次數n。

比如，在擲均勻硬幣的試驗中p=0.5，如果我們要求ε=0.01，1-a=0.95。則得到

由此解得n?叟9604，即在擲均勻硬幣的試驗中，要想以95%的概率保證頻率和概率0.5的差不超過1%（頻率在0.49與0.51之間），試驗次數至少要超過九千六百次。

在擲一個均勻的色子試驗中，上式中的p= 。如果我們仍然要求ε=0.01，1-a=0.95，不難求出所要求的試驗次數n。

注意：這里是用正態分布做二項分布的近似計算，得到的是近似解。但這些結果可以幫助老師在教學中更好地把握頻率和概率的關系。特別是在讓學生用試驗來探索概率時，老師們可以做到心中有數。

游戲的公平問題現在在初中概率的教學中出現了游戲或賭博的“公平”問題。這個問題最好不要在初中過多展開來討論。因為什么是“公平”？我們并沒有給出其確切的定義，對這個問題的討論超出了初中的要求。

設想甲、乙兩人賭博，甲勝、負和平局的概率分別是p、q、r（為簡單起見，可假設r=0）。現在教材中一般是說，當甲勝（乙負）的概率和甲負（乙勝）的概率相等時，即p=q時，賭博是公平的。但這有一個前提：要求甲勝時贏得的錢數和甲輸時賠付的錢數要相等。

比如，在擲一個均勻硬幣時，我們規定“擲出正面”時甲勝、“擲出反面”時甲負。顯然甲勝、負的概率相等。如果甲勝時，乙付給甲1元，甲負時，甲付給乙1元。人們會認為這賭博是“公平”的。但是，如果甲勝時，乙付給甲10元，甲負時，甲付給乙1元，那么這個賭博就不“公平”了。

為此，有的老師把“甲勝、負的概率相等”這個“公平”的定義，改為“甲、乙贏的平均錢數相等”，即甲、乙贏的平均錢數都為0（這里用的是數學期望的概念）。但這也是不妥的。設想這樣一個游戲，甲贏得（即乙付出）10 -1元的概率為10 ，甲輸（即乙贏得）1元的概率為1-10 。顯然，對任意的正整數n，這個賭博中，甲、乙贏的平均錢數（即數學期望）相等，都為0。但很難說這游戲是“公平”的。比如，取n=6，此時，在每次賭博時，甲或者贏得10 -1元，即近百萬元；或者輸1元。但甲贏得近百萬元的概率是如此之小，以至于幾乎無法發生。因此，在賭博次數不多時，甲幾乎只能是輸錢。除非無限次地賭下去，否則對甲來說很難是“公平”的。

當然這樣的游戲在現實中并非完全沒有意義。設想乙方是保險公司。甲方每年付給乙方1元，當發生事故時，會得到10 -1元，盡管發生事故的概率10 很小，甲方還是愿意接受的。不過，這和我們討論的游戲的“公平性”是兩回事。

由于我們沒有給出“公平”的標準，建議在教學中不要過分展開這方面的討論。

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