解析不定積分的計算

不定積分的計算有許多的類型和技巧，把這些類型和技巧加以梳理和歸類，主要有以下幾個方面：

一、 不定積分的計算

不定積分運算是微分運算的逆運算，其計算方法可以由微分法導出。顯然，一種運算與其逆運算在計算的難度上往往不是同等的。因為只要熟記了基本初等函數的導數公式、掌握了導數的四則運算法則以及復合函數的求導法則，就可以程序化地求出任何函數的導數。可是不定積分就沒有這么容易，其一是沒有適用于一切初等函數不定積分的方法，其二是許多初等函數的原函數本身就不是初等函數，從而出現不定積分存在但是“積不出”的情況（任何初等函數都在定義區間上連續，因而在定義區間上原函數一定存在），比如積分對數∫ dx和∫ dx、積分正弦∫ dx積分余弦∫ dx等等。實際上，可以“積出來”的不定積分僅僅是不定積分存在（只要被積函數連續）情況下的一小部分。

我們有計算不定積分的兩種基本的（但不是萬能的）方法，它們是換元法和分部積分法。應用這兩種方法可以解決許多的不定積分計算的問題。我們還有解決一些特定類型函數的不定積分計算問題的專用方法，使用這些程序化的方法計算相應類型的不定積分總是有效的（但不一定是最簡便的）。

解決不定積分問題的基本思路是化繁為簡，想方設法地將考慮的問題轉化為簡單問題，最終歸結為基本公式中的情形。因此，基本公式是不定積分的基礎，必須熟練掌握。

將不定積分的計算問題化繁為簡的常用方法有：被積函數的恒等變形，不定積分的線性性質，換元法和分部積分法。

二、 不定積分的計算舉例

不定積分的線性性質由其逆運算的線性性質導出。它是化簡不定積分計算問題的最基本手段。

（一）直接利用不定積分的線性性質，化問題為可直接使用基本求導公式的情形

例1求不定積分∫ (x+ )dx。

（二）換元法應用舉例

不定積分的換元法有（其逆運算）導數的換元法（即復合函數的求導方法）而來，它是通過改變積分變量的方式來實現不定積分問題的轉化。不定積分的換元法按照換元前后新舊積分變量之間的關系可分為：第一類換元積分法，其新的積分變量為原積分變量的函數，即新的微分元為原積分變量函數的微分，故又稱為“湊微分法”；第二類換元法，其原積分變量為新的積分變量的函數。第二類換元法中常用的有“有理代換”、“倒代換法”“三角代換”、“指數代換”等。

（三）分部積分法

分部積分法由微分中的乘法而來，它是通過將所求積分的被積函數分割為兩個部分，從而將所求積分的計算轉化為兩個積分的運算，以此來實現對不定積分問題的轉化。

分部積分常用于求兩種不同類型函數乘積的積分以及消去反三角函數和對數函數（基本公式中不含有這兩種函數的積分）。

下面幾種特殊類型函數的積分可以用其特定的解法程序化地求解：有理函數的積分∫ dx（其中p(x)，q(x)為多項式）、三角函數有理式的積分∫R(sinx，cosx)dx（其中R(x，y)為二元有理函數）、簡單無理式的積分∫R(x， )dx及∫R(x， )dx。

例7求不定積分∫cos(lnx)dx。

解：取u=cos(lnx)，dx=dv。

則原式=xcos(lnx)+∫sin(lnx)dx=xcos(lnx)+xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx

所以原式= ［cos(lnx)+sin(lnx)］+C

事實上，有些題并非只有一種解法，而且大多數題目求解的過程也同時涉及到多種方法。由此可見，求解不定積分時，不同的思路可產生不同的解法。一般來說，求解不定積分時，首先考慮能否用不定積分的性質，或將被積式化簡，直接求解；其次考慮是否可用第一類換元法，然后是第二類換元法；最后是分部積分法，或綜合使用上述方法。

最后，我們再來看看幾種特殊類型的不定積分。

（一） 分段函數的不定積分

注：在上面求解過程中若改變被積函數在個別點（端點）處的定義，這樣做不會影響積分值。

對分段函數的不定積分，它在各區間段上的表達式中的積分常數不一定相等（盡管習慣上把積分常數記作C）。一般是，先求出各區間段上不定積分的表達式，然后利用原函數的連續性確定各區間段上積分常數之間的關系，最后用一個同意的記號表示各區間段上的積分常數。

（二） 不定積分中的遞推公式

不定積分中的遞推公式題型，一般多用分部積分法推導。

（三） 有理函數的積分

有理函數的積分關鍵在于將有理真分式（也就是被積函數）分解成部分分式之和，即將有理真分式的積分轉化為幾個分式的積分和。

注：對于有理式的積分，不一定都去用比較系數法將其分解成部分分式，最好先分析被積函數的特點，靈活選擇解法。

（四） 三角有理式的積分

由sinx，cosx及常數經過有限次四則運算所得到的函數，稱為三角有理式，對于這類函數的積分的基本思路是：

1. 將分子、分母同乘以某因子，把分母轉化為sin (x)（或cos (x)）的單項式，或將分母整個看作一項；

2. 利用倍角公式或積化和差公式使三角有理式降冪；

3. 通過代換u=tan（稱為萬能公式代換）化為有理式的積分。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。