微分方程研究經濟問題的數學建模

[摘要] 本文簡要微分方程在經濟學和管理科學等實際問題中的數學建模問題，例如邏輯斯諦(Logistic)方程是一種在許多領域中有著廣泛應用的數學模型，人口的增長、新產品的推廣、人才的分配、價格的調整中我們可以感受到應用數學建模的理論和方法解決實際問題的魅力。

[關鍵詞] 微分方程 數學建模 經濟應用

微分方程是一門獨立的數學學科，有完整的數學體系，微分方程是數學聯系實際，并應用與實際的重要橋梁，是各個學科進行科學研究的強有力的工具。微分方程在物理學、經濟學和管理科學等實際問題中具有廣泛的應用，如果說“數學是一門理性思維的科學，是研究、了解和知曉現實世界的工具”，那么微分方程就是顯示數學的這種威力和價值的一種體現，現實世界中的許多實際問題都可以抽象為微分方程的問題，例如物體的冷卻、人口的增長、琴弦的震動、電磁波的傳播、人才的分配、價格的調整等，都可以歸結為微分方程的問題，從中我們可以感受到應用數學建模的理論和方法解決實際問題的魅力。

一、邏輯斯諦(Logistic)方程

邏輯斯諦(Logistic)方程是一種在許多領域中有著廣泛應用的數學模型，下面借助樹的增長來建立該模型。

一棵小樹剛栽下去的時候長的比較慢，漸漸地，小樹長高了而且長的越來越快，幾年不見，綠蔭底下已經可以乘涼了，但長到某一高度后，它的生長速度趨于穩定，然后再慢慢降下來。下面建立這種現象的數學模型。

如果假設樹的生長速度與它目前的高度成正比，則顯然不符合兩頭尤其是后期的生長情形，因為樹不可能越長越快；但如果假設樹的生長速度正比于最大高度與目前高度的差，則又明顯不符合中間一段的生長過程。折中一下，假設樹的生長速度既與目前的高度呈正比，又與最大高度與目前高度的差成正比。

數學建模:設小樹生長的最大高度為H(m)，在t(年)時的高度為x(t)，則有

其中k>0是比例常數，稱此方程為邏輯斯諦(Logistic)方程

解微分方程:分離變量得

兩邊積分 得

整理得

故邏輯斯諦(Logistic)方程的通解為 (其中的c是正常數)

通解函數的圖像成為Logistic曲線。另外這說明樹的增長有一個限制，因此也稱為限制性模式。邏輯斯諦(Logistic)方程除了應用于生物種群的繁殖外，還應用于信息的傳播、新技術的推廣、傳染病的擴散以及商品的銷售等等。

1.人口阻滯增長模型:1837年，荷蘭生物學家Verhulst提出一個人口模型

y(t0)=t0 其中k，b稱為生命系數。

符合邏輯斯諦(Logistic)方程的模型，通解為

某國家人口增長滿足邏輯斯諦(Logistic)方程，其中b=275（百萬），c=54，y的單位是年，根據這些數據可求出再過100年該國的人口數。

因為把以上數據代入得

即再過100年，該國的人口數為5千萬。

2.新產品的推廣模型:設有某種新產品要推向市場，t時刻的銷量為x(t)，由于產品性能良好，每個產品都是一個宣傳品，因此，t時刻產品銷量的增長率與x(t)成正比，同時，考慮到產品銷量存在一定的市場容量N，統計表明與尚未購買該產品的潛在顧客的數量N-x(t)也成正比，于是有

符合邏輯斯諦(Logistic)方程的模型，通解

當x(t*)

研究與調查表明:許多產品的銷售曲線與Logistic曲線十分接近，許多分析家認為，在新產品推出的初期，應采用小批量生產并加強廣告宣傳，而在產品用戶達到20%到80%期間，產品應大批量生產，在產品用戶超過80%時，應轉產。

二、國民收入與國民債務問題的模型

某地區在一個已知的時期內國民收入的增長率為，國民債務的增長率為國民收入的若t=0時，國民收入為5(億元)，國民債務為0.1(億元)，試求國民收入及國民債務與時間t的函數關系

設國民收入函數為y(t)，由條件知

所以得國民收入函數因為t=0時，y=5 得 c=5

故國民收入函數

設國民債務函數D(t)，由已知

解此微分方程得

由t=0時，D=0.1得c=0.1

故國民債務函數為

三、價格調整問題

某商品在時刻t的售價為P，社會對該商品的需求量和供給量分別是P的函數Q(P），S(P），則在時刻t的價格P(t)對于時間t的變化率可以認為與該商品在同一時刻的超額需求量Q(P)—S(P)成正比，即有微分方程

在Q(P)和S(P)確定情況下，可以解出價格P(t)與時間t的函數關系，這就是商品的價格調整模型

某種商品的價格變化主要服從市場供求關系，一般情況下，商品供給量S是價格P的單調遞增函數，商品需求量Q是價格P的單調遞減函數，為簡單起見，該商品的供給函數與需求函數分別為

s(p)=a + bp， Q(p)=α—βp(1)

其中a，b，α，β均為常數，且b>0，β>0.

當供給量與需求量相等時，由式(1)可得供求平衡時的價格

并稱Pe為均衡價格。

一般情況下，當某種商品供不應求，即S

其中k<0，用來反映價格的調整速度。

將(1)代入方程，可得 (2)

其中常數λ=(b+β)k>0，方程(2)的通解為

假設初始價格P(0)=P0，代入上式，得C=p0—Pe，于是上述價格的調整模型的解為

由于λ>0知，t→+∞時，p(t)→Pe。說明隨著時間不斷推延，實際價格p(t)將逐漸趨近均衡價格Pe

四、人才分配問題

每年大學生都要有一定比例的人員分配教育部們充實教育隊伍，其余人員將分配到國民經濟其他部門從事經濟和管理工作。設t年教師人數為x1(t），科學技術和管理人員人數為x2(t)，又設1個教員每年平均培養α個畢業生，每年從教育、科技和經濟管理崗位上退休、死亡或調出人員的比率為δ(0<δ<1），β表示每年大學畢業生中從事教師職業所占比率(0<β<1），于是得到模型（1）、（2）

（1）

（2）

方程(1)的通解為

若設x1(0)=x01，則于是，得到方程(1)的一個特解

將上式代入方程(2），得

方程(2)的通解為

若設x2(0)=x，則，從而得到上述方程的特解

上述兩個特解分別表示在初始人數為x1(0)和x2（0）的情形，對應于β的取值，在t年教師隊伍的人數和科技經濟管理人員的人數。從結果易見，如果β=1，即畢業生全部留在教育界，則當 t→∞時，由于α>δ，必有x1(t)→+∞而x2(t)→0，說明教師隊伍將迅速增加。而科技和經濟管理隊伍不斷萎縮，勢必要影響經濟的發展，反之也會影響教育的發展，如果將β接近于零，則x1(t)→0，同時也導致x2(t)→0，說明如果不保證適當比例的畢業生充實教師隊伍，將影響人才的培養，最終會導致兩支隊伍全面的萎縮，因此，選擇好比率β，將關系到兩支隊伍的建設，以及整個國民經濟建設的大局。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。