淺談數學中的等價思想

摘 要：等價思想是數學中的一種重要思想，本文試從等價關系、等價變換等方面來具體闡述，并把這一重要的思想運用于常見的各種題型中。

關鍵詞：等價關系 等價變換 思想

引言

等價思想是貫穿整個數學的一種重要思想，本文試從等價關系、等價變換方面來具體闡述數學中的等價思想；并通過對各種數學中的各種常見題型的研究，來體現等價思想的廣泛運用。

一、等價思想

我們知道，分類是一種一般的邏輯方法。人們把具有同一特性的東西歸為一類。但是到底哪些東西具有同一特性呢？數學上自有它的判定準則，這便是等價關系。斯托利亞爾說過：“等價型的關系都是某種相同。”一般說來，如果A中的一個關系R，它滿足如下特性：

（1）自反性：對任何a∈A，則必有aRa(R條件)。

（2）對稱性：對任何a∈A，b∈A，若有aRb，則必有bRa (S條件)。

（3）傳遞性：設a，b，c均在A中，若有aRb，bRc，則必有aRc(T條件)。

那么我們就稱關系R是一個等價關系。

例如：整數的同余關系，設p是素數，mod(p)是等價關系。(R):a≡a(modp)。(S):若a≡b(modp)，則b≡a(modp);(T)a≡b(modp)，b≡c(modp)，則必有a≡c(modp)。

數學中特別重視等價關系，因為等價關系往往是分類的依據。我們時常把按某種意義下等價的東西分在同一類，平面圖形可按全等或相似或射影不變分類，整數可按質數P的同余可分為0，1，2，…P-1類，方程可按相同的次數分為一次，二次，…，n次方程（次數相等是等價關系），同解也是分類，因為“同解”是等價關系。

等價關系既是我們觀察數學對象，進行等價分類的依據，也是進行數學推導，轉換數學形式的基本手段。

二、數學中的等價變換

我們先來看一個例子：求一元一次方程3(x+2)-4=5的解，我們通常是這樣解的：經過一系列的變換（去括號，移項，合并同類項，兩邊除以同一不等于零的數），得出與原方程等價的方程x=1，于是x=1即為上述方程的解。

這個簡單的解方程方法為我們展示了解方程問題的一般解題思路：對于所給的一個方程問題，經過一定變換，把它變成一些與它等價的且簡單的方程。那么，這個前后變換的過程就是我們所要研究討論的等價變換。我們先來討論另一個重要的概念——等價類。

設E是一個等價關系的集合，而x是E的一個元素，我們把E中與x等價的元素所組成的E的子集，稱作x的等價類，記作Rx，那么，這樣一個集合E，若在它上面定義了一個等價關系R，則它的元素就可以按彼此是否等價去進行分類，若aRb，則稱a，b屬于同一類。

在此基礎上，我們設集合E中定義了一個等價關系R，若集合E上的變換T，使E中的一元素a均變為它的等價類Ra中的另一元素，即T(a)Ra，則T就叫做關于這個等價關系的等價變換。

等價變換是保持等價變換的變換，某個量（或性質）在這類變換下不變，當要計算這個量或應用這一性質時，就可以利用此類變換來改變問題的形式與條件，從而達到排除無關因素，簡化問題的目的。

例１ 計算（－７１００４，－１５４４５２），即求這兩個數的最大公約數。

解：用歐幾里得算法求兩個不全為零的整數的最大公約數時，可實施如下等價變換：

在計算過程中，每一步都是根據上述等價變換完成的，即步步保持等價——最大公約數不變，又不斷地簡化，直至得出結果。運用上述等價變換（１）～（５）。可以求出任兩個不全為零的整數的最大公約數。

三、數學中的等價思想

數學中蘊涵的等價思想大致可以從以下幾個方面去考慮：

1.數、形系統的等價

在數的方面，有等值變換，同余變換，同解變換；在形的方面，有合同變換，相似變換，等積變換。從有理數到復數，由數的運算法則和整式的恒等變形法則所反映的等值變換，是數學中最基本的等價變換，它反映了形變值不變的變換過程。由解一元整式方程和線性方程組的過程所反映的同解變換，也蘊涵數學中重要的等價思想，它反映了形變解不變的變換過程，幾何中，由合同變換發展到相似變換，等積變換。圖形在變化過程中，都有某個確定不變的要素。以上這些包含等價思想的變換，是中等數學學習的基本內容。

2.命題的等價與系統的同構

命題的等價，只是一個命題與另一個命題之間的等價關系，而兩個系統同構則意味著這兩個系統間能相互對應，即一個系統中的問題，在另一個系統中都有等價的對應形式，下面只介紹同構概念，并據此分析中學數學的典型例子。

同構——假設有兩個集合A和A′，O和O′是集合A和A′中運算且滿足同樣一組公理，如果存在一個一一映射g，使A和A′中的元素以及各自的運算結果都能一一對應，即在兩個形式系統

則稱是L(T)與L′(T)間的一個同構映射，也稱L(T)與L′(T)是一對同構系統。對于兩個同構的代數系統L(T)與L′(T)，它們在本質上是相同的，僅僅是在形式上存在差異，如果把定義中“存在一個一一映射”改為“存在一個映射f”，其余條件不變，這時稱L(T)到L′(T)中的映射f是一個同態。

例2原命題：已知：梯形ABCD中，AB∥CD，EF是梯形的中位線，求證:EFAB，EF=1/2(AB+CD)。

等價命題1：

“已知梯形ABCD中，AB∥CD，E為AD的中點，EF∥AB交BC于F，求證：EF就是梯形的中位線，且EF= (AB+CD)。”

等價命題2：

“已知梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分別是AD，BC的中點，CH∥DA交AB于點H，G為CH的中點，求證：折線EGF就是梯形的中位線，從而EF∥AB，EF=1/2(AB+CD)。”

等價命題3：

“已知梯形ABCD中，AB∥CD，E，F，K分別是AD，BC，AC的中點。求證：折線EKF就是梯形的中位線。”

3.可控制的變換

在初等數學中，從一個方程變換成另一個方程，有時不一定是同解變換，更不是等價變換，另外恒等變換也只有在所有解析式的定義域的公共部分內才成立。像這樣，我們把一類雖不等價但實施后其結果可以控制的變換，稱為可控制的變換。某些可控制的變換附加某些條件后，即可成為等價變換，它主要用在解方程、不等式中，常見的可控制變換可分為以下幾類：

①兩邊同乘以一個整式；

②利用比例性質進行變換；

③兩邊乘方；

④施行兩式相除的運算；

⑤兩邊取同底的對數；

⑥利用同名三角函數相等的條件；

⑦對方程的超越函數施行恒等變換。

以上各種變換會使方程的解產生變化（對不等式也如此），因此解題后應及時采用檢驗的方法予以彌補。

四、用等價思想解數學題

有了前文的等價關系，等價變換的知識后，我們就知道：如我們需要解決問題A，可能無法直接求出它的解答，我們可以去尋找與A等價的另一個問題B，考慮B時，我們又可能聯系與B等價的第三個問題C。如此下去，直到最后得到問題L。問題的分析如下等價輔助問題鏈：

A → B → C → … → L

而解答的過程，只要把這個順序顛倒過來，逐個敘述就可以了：

L → … → C → B → A

用等價思想來分析與推演并最終解出此題有以下幾種情況：

1．換一個角度數學中有些問題，用通常的思路去分析卻難以獲解。在這種情況下，就要突破思維定式，換一個角度去思考，改變觀察的方向，從不同的側面去接觸事物的本質。

例3有4×6=24個方格，每個方格可以放置一個奶瓶，現要放置18個奶瓶，但橫豎都要保持偶數，問如何放法？

解：這是在1984年數學教育國際討論會上一個英國人提出來的。在18個方格上打“O”（表示放奶瓶），但要保持橫豎是偶數，總是“顧此失彼”。如果我們不從放奶瓶的角度去考慮，反過來從“不放奶瓶”的角度去思考：在6個方格上打“×”（表示不放奶瓶，而剩下的18個方格放奶瓶），且要求打“×”的格橫豎都是偶數，則問題就簡單多了。

2．改一種說法當我們所遇到的問題的提法比較隱晦或比較抽象時，我們改變成一種新的說法，則往往可使問題變得顯著或具體起來。

例4 （匈牙利1986年中學數學競賽試題）在一個6×6棋盤上，已經擺好一些1×2的骨牌，每一個骨牌蓋住了兩個相鄰的格子。求證：如果至少還有14個空格，則至少還能放進一塊骨牌。

證明：我們先把命題的條件和結論均改一種說法：“至少還有14個空格”，——至多覆蓋了11塊骨牌；“至少還能放進一塊骨牌”——至少有兩個相鄰的空格。這樣，問題就變得易于證明。

首先，如第一行至少有4個空格，那么至少有兩個空格相鄰，結論顯然成立。其次，假設第一行最多有3個空格，那么除第一行外，至少還有11個空格，我們把這些空格叫做“特格”。如果有兩個特格是相鄰的，或者某個特格上面的一格為空格，則結論顯然成立。假設任何特格不相鄰，且每個特格上面都有一塊骨牌。那么，除最后一行外，棋盤至少蓋了11塊骨牌，由變換后的條件可知，最后一行沒有骨牌，都為空格，當然可以再放進一塊骨牌。證畢。

3．建一個模型 將所研究的問題模型化是通過建設一定的數學模型，借助模型的直觀來完成解題的一種方法。模型的實質是結構上的等價變換，數學上常常稱為“同構”。利用同構常常可使一個領域中的問題等價變換到另一個領域內求解。

例5求證：（C） +（C） +…+（C） =

證明：此題常用的方法是對方冪(1+x) 采用兩種方式展開，然后比較x 的系數。下面我們建立模型來證明就顯得特別簡單。

建立如下模型：假定2n個不同的產品中有n個正品，n個次品，今取n個，問有多少不同的取法？

一方面，從2n個產品中選取n個有C= 種方法；另一方面，各種取法中含k個次品的取法為CC=(C) 種，但k可取0，1，…，n，從而共有（C） +（C） +…+（C） 種取法。綜上述，命題獲證。

4．用一種記號當一些問題敘述起來很不方便，或者表達非常繁瑣時，我們采用一些特定的記號來表示，則往往能清楚而簡潔地表述出那些“別扭”的內容。

例6桌上有n只茶杯，杯口都朝上，我們把翻轉[杯口朝上（下）換成杯口朝下（上）]偶數只茶杯稱為一次運動，問經過有限次運動，是否可以把茶杯換成杯口都朝下？

解：我們用“+”號表示杯口朝上，“－”表示杯口朝下，而把這些符號的“積”（按通常的符號法則）稱為相應的杯子放置狀態的符號。這樣，開始狀態是正號，而每次運動翻轉偶數只杯子，改就改變偶數個符號，因而“狀態”的符號在這種運動下保持不變，但目標狀態（n只杯子都朝下）的符號是負號，因此，問題答案是否定的。

參考文獻：

[1]梁之舜，吳偉賢.數學古今縱橫談.科學普及出版社廣州分社，1982年.

[2]蘇巍.論等價轉化思想我數學試試題.中國基礎教育研究，2006年.

[3]潘永翔，王國偉.等價轉化思想在中學數學解題中的應用.中學數學雜志，2002年.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”