向量在立體幾何中的應(yīng)用

摘 要：利用向量來解決立體幾何的問題，可讓我們重新審視向量在解決立體幾何問題時的作用和地位。

關(guān)鍵詞：向量 立體幾何

在高職階段的立體幾何知識主要有位置關(guān)系的證明（線線位置、線面位置、面面位置）、角度的計算（異面直線夾角、線面夾角、面面夾角）兩大類內(nèi)容。在蘇大版的五年制高職數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)了用向量來解決某些立體幾何問題（用向量證明線面垂直等），而如何用向量證明線面平行，異面直線夾角、線面夾角則沒有提及。其實立體幾何中位置關(guān)系的證明和角度的計算一般都可以用向量來處理。下面是我整理的一些立體幾何題，這些題目一般都可以用常規(guī)方法（非向量）來解答，我在這里是通過向量法來解答的，讓我們重新審視向量在解決立體幾何問題時的作用和地位。

一、用向量證明直線與平面平行和垂直

證明直線與平面平行，轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明直線與平面垂直，轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線，然后根據(jù)直線與平面平行和垂直的有關(guān)概念得出結(jié)論，達到解決問題的目的。

例1如圖已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是線段EF的中點。

二、利用向量證明平面與平面平行和垂直

證明平面與平面平行，轉(zhuǎn)化為證明這兩個平面的法向量共線；平面與平面垂直，轉(zhuǎn)化為證明這兩個平面的法向量互相垂直。

三、利用向量求異面直線夾角

四、利用向量求線面夾角

由上述的幾個例子不難發(fā)現(xiàn)向量也是一個重要的數(shù)學(xué)工具，在解決有關(guān)的立體幾何問題時，如能適當(dāng)?shù)貥?gòu)建向量模型不僅可使不少問題得以解決，而且求解有時也會變得簡單易行。所以我們在平時教學(xué)過程中應(yīng)該提高學(xué)生利用向量來解決問題的能力。在學(xué)生掌握常規(guī)解題方法的前提下，讓他們能試著從“向量”這個新的途徑登上更高的知識殿堂。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”