Ｊａｃｏｂｉａｎ函數行列式推導熱力學關系的統一方法

摘 要：本方利用雅可比函數行列式統一導出了簡單可壓縮系統的所有熱力學關系式，同時指出了雅可比行列式推導熱力學關系式的一般方法。它的優點是：不需要前提條件，只需利用雅可比函數行列式和麥克斯韋關系式進行簡單的運算，便可推導所有的熱力學關系式。

關鍵詞：雅可比函數 熱力學函數 熱力學關系

熱力學關系式是熱力學理論的重要研究內容；應用熱力學關系式可以檢驗分析氣體狀態方程式的準確性，推導各種過程狀態函數變化值的計算式，可以根據熱力學推導用某些容易由實驗直接測量的熱力學函數（如C ，C ，α，β，K ，P，T，V）來表示其它難以由實驗測定的一些熱力學狀態函數等等。對于簡單可壓縮系統，由熱力學體系常用的八個熱力學函數（T、P、V、S、U、H、F、G）中任意三個組成一個偏導數，則偏導數的數目就有336個，若把形如 算成一個，也有168個之多，同時還有表面系統、電介質系統［１］、磁介質系統［２］的熱力學關系和麥氏關系。很顯然對如此眾多的關系式間的推導研究是非常麻煩。為此人們對熱力學關系式的推導方法進行了大量的研究［３－５］，如系數比較法、循環關系法、鏈式法、Bridgeman公式法、復合函數法等等。但這些方法運用情況不一，前提條件多，不便于系統地掌握和應用，仍存在許多的不足，若能運用一種簡單方便的數學方法推導所有這些關系式，無疑具有十分重要的實際意義。本文采用Jacobian函數行列式推導熱力學關系式的統一方法，此方法的優點在于不需要任何前提條件即適用于所有的熱力學關系式的推導。

一、 Jacobian函數行列式定義及性質

二、熱力學關系的推導

1. Jacobian函數行列式推導的基本方法

首先根據Jacobian函數行列式的性質（3）將偏導數關系化成Jacobian函數形式，然后再乘以?鄣（x，y）/?鄣（x，y），其中變量（x，y）是對應函數的特性參量。如U（內能）、F（自由能）、G（吉普斯函數）、H（焓）對應的特性參量根據熱力學基本方程分別為（S，V）、（T，V）、（T，P）、（S，P），從而消除了態函數，再利用Jacobian函數行列式和熱力學基本方程以及麥克斯韋關系式［６］將其化成含易測量物理量P、V、T或S的偏導數形式，最后將熱力學偏導數與可測物理量（C ，C ，α，β，K ，P，T，V）相關聯，從而實現所有熱力學關系式的推導轉換。

2. Jacobian函數行列式推導熱力學關系統一方法應用

對于簡單可壓縮系統，由熱力學體系常用的八個熱力學函數（T、P、V、S、U、H、F、G）中任意三個組成的168個偏導數，我們利用Jacobian函數行列式推導熱力學關系統一方法推導之：

1）熱力學關系式中只含有體系狀態參量T、P、V、S，如、、此類偏導數熱力學關系式共有12個。這些熱力學關系式是易測量物理量的偏導數，包括熱力學的其本關系式和一些基本定義以及麥克斯韋關系式，是我們推導其它關系式的基礎。變量（x，y）在推導的過程中可根據需要任意選擇（S，V）、（T，V）、（T，P）、（S，P）化成自己需要的可測量物理量。

按照上述方法也可很容易在導出其余的11個熱力學偏導數，如= 等。

2）熱力學關系式中若含有態函數U、F、H、G中之一及狀態參量T、V、S、P中的任意兩個所組成的偏導數，如、等，共計72個偏導數關系式，對于這類關系式含有一態函數，因而應用比較廣泛，在推導過程中我們只要乘以?鄣（x，y）/?鄣（x，y）消除態函數也就變成了1）中所描述的12種偏導數中的一種，也就很容易推證其結果了。

3）熱力學關系式中若含有態函數U、F、H、G中任意兩個及狀態參量T、V、S、P中之一所組成的偏導數，如、等，共計72個偏導數關系式，對于這類關系式含有兩個態函數，在推導過程中我們需要兩次乘以?鄣（x，y）/?鄣（x，y）消除態函數才能變成1）中所描述的12種偏導數中的一種，最后推證其結果。

4）熱力學關系式中若含有態函數U、F、H、G中任意三個所組成的偏導數，如、等，共計12個偏導數關系式，對于這類關系式含有三個態函數，在推導過程中我們需要三次乘以?鄣（x，y）/?鄣（x，y）消除態函數才能變成1）中所描述的12種偏導數中的一種，最后推證其結果。

用同樣的方法可以推導出所有簡單可壓縮系統的168個偏導數表達式并與用Bridgeman［３］法查算的結果完全相同，并且用同樣的方法也可以推導類熱力學系統關系式，如表面系統和電介質系統、磁介質系統的關系式。

結束語

由以上分析推導可知，本文采用的Jacobian函數行列式推導熱力學關系式的統一方法，能推導出所有的熱力學關系式，該方法在運算上將熱力學態函數和態函數的特性參數聯系起來，使推導過程由偏微分運算轉化為代數運算，運算簡單、邏輯完善、前提條件少，便于應用推廣，為研究熱力學關系式的物理意義和應用價值提供了有力工具和方法。

參考文獻：

［1］路瑩.論電介質系統熱力學函數四種定義及各麥氏關系的等價性.洛陽師范學院學報，2004年第5 期.

［2］謝名春.論磁介質系統熱力學函數的兩種定義及其麥克斯韋關系.大學物理，2001年第8期.

［3］楊合成.推證熱力學關系式的九種方法.黔西南民族師專學報，1997年第1期.

［4］高建安.推證熱力學函數微商方法的探討.化學通報，1995年第3期.

［5］Giasstone .S. Thermedynamics for chemists， New york Nostrand company.1958:212.

［6］汪志誠 .熱力學 統計物理（第二版）.高等教育出版社，1980年8月.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>