空間幾何體的直觀圖的畫法

摘要：本文主要介紹了空間幾何體的直觀圖的畫法，先介紹了空間幾何體的直觀圖的準確畫法—斜二測畫法與正等測畫法的要點和原理，然后介紹了圓的直觀圖的近似畫法——菱形法和圓V法的作法和特征，并列舉了幾個例子說明“圓V法”畫法的優越性。

關鍵詞：空間幾何體；直觀圖；畫法

比較準確地畫出幾何圖形是學好立體幾何的一個重要前提，也是培養和提高學生空間想象力的一個有效方法。下面結合本人的教學實踐談談空間幾何體的直觀圖的畫法。

一、 空間幾何體的直觀圖的準確畫法——斜二測畫法與正等測畫法

人教版（A版）普通高中課程標準實驗教科書《數學》②第一章“1.2.2空間幾何體的直觀圖”介紹了最常用的直觀性較好的斜二測畫法（注1）。用斜二測畫法畫直觀圖，關鍵是掌握水平放置的平面圖形直觀圖的畫法，這是畫空間幾何體直觀圖的基礎，而水平放置的多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連結這些頂點就可以畫出多邊形。因此，平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結為確定點的位置的畫法。而在平面上確定點的位置，可以借助于平面直角坐標系，確定了點的坐標就可以確定點的位置。因此，教學中要學生首先掌握好畫水平放置的平面直角坐標系。課本P13—14例1：“用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖”和例3“用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體ABCB—A'B'C'D'的直觀圖，就是基于這種思想方法作出來的。但是，畫水平放置的圓（包括圓柱、圓錐、圓臺等旋轉體）的直觀圖時，如果用斜二測畫法或正等測畫法（注2），也是要先畫出一些有代表性的點，由于不能像多邊形那樣直接以頂點為代表點，因此需要自己構造出一些點，這就是為什么要將直徑n等分，并作y軸的平行線的理由。顯然，n越大，直徑被分得越細，所畫出的圖形就準確直觀。例如，課本P13—14例2“用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖”和例4“用斜二測畫法畫一個上部是一個圓錐，下部是一個圓柱的組合體的直觀圖”。

二、 圓的直觀圖的近似畫法——菱形法和圓V法

在實際畫圓的直觀圖時，上述兩種畫法（斜二測畫法與正等測畫法）都比較麻煩，費時費力且不精確。故很多教材都介紹了下面的一種近似畫法（簡稱菱形法）：

（1） 如圖1，作X'軸，Y'軸成120o角；

（2） 在兩軸上取OP=OR=OQ=OS=圓的半徑；

（3） 過P、R分別作Y'軸的平行線，過Q、S分別作X軸的平行線，得菱形ABCD；

（4） 連結AS、CP交于H，連結AR、CQ交于K；

（5） 分別以H，K為圓心，HS為半徑作弧SP，QR；分別以A，C為圓心，AS為半徑作弧RS，PQ。則這四段弧就組成菱形ABCD的內接近似橢圓。

這就是水平放置的圓的直觀圖的近似畫法——菱形法。

本人在多年的教學實踐中，總結出下面一種更簡便的畫法來代替這種畫法（簡稱圓V法）：

（1） 如圖2，作互相垂直的X軸，Y軸，相交于點O；

（2） 以O為圓心，圓的半徑長為半徑畫⊙O，交Y軸于點A，C；

（3） 以C為圓心，圓的半徑長為半徑畫弧，交⊙O于R，S。連結AR，AS交X軸于點K，H；

（4） 分別以A、C為圓心，AR長為半徑作弧RS，QP；再分別以K，H為圓心，R K長為半徑作弧RQ，SP。這四段弧相連接便得一個近似橢圓。

這就是水平放置的圓的直觀圖的近似畫法——圓V法。

從上面的作圖過程中，我們不難發現這兩種近似畫法其本質是一樣的（見圖3）。但圓V法與菱形法比較，有下面幾個優點：

（1） 不用作夾角為120o的X'軸和Y'軸；

（2） 不用作菱形ABCD，只須作一個圓；

（3） 作圖時所需要畫的點和線段的數量減少了，圖形變得簡潔明了。

用這種近似畫法畫圓的直觀圖，簡單明了，容易操作，根據此畫法畫圓柱、圓錐、圓臺和球等旋轉體的直觀圖就比較容易。事實上，在教學中也需要學生學會作圓的直觀圖，課本上的很多習題都要求學生畫圓柱、圓錐、圓臺和球等旋轉體的直觀圖，例如，課本P36復習參考題A組第5、6題等。下面舉一個用圓V法作圖的例子，從中可以體會到這種畫法的優點：

一個圓錐的底面半徑是1.6m，在它的內部有一個底面半徑為0.7m，高為2.6m的內接圓柱，畫出它們的直觀圖。

畫法:(1)定比例尺，畫軸。比例尺定為1∶100，畫互相垂直的OX，OY軸，在Y軸上取OO'＝2.6cm，過O'作OX軸的平行軸O'X'軸。

(2) 畫底面。分別以O，O'為圓心，用上述圓V法畫半徑等于1.6cm ，0.7cm的圓的直觀圖。

(3) 成圖。畫出圓柱的兩條母線和圓錐的兩條母線，去掉輔助線，分清虛實線，就得到所要畫的直觀圖，如圖4。

注1：斜二測畫法的規則是：

① 在已知圖形中取互相垂直的軸OX，OY，畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸O'X'，O'Y'，使∠X'O'Y'=45o(或135o)。它們確定的平面表示水平面。② 已知圖形中平行于X軸或Y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于X'軸或Y'的線段。③已知圖形中平行于X軸的線段，在直觀圖中，保持原長度不變；平行于Y軸的線段，其長度變為原來的一半。

注2：正等測畫法的規則是：

① 在已知圖形中取互相垂直的軸OX，OY，畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸O'X'，O'Y'，使∠X'O'Y'=120o。它們確定的平面表示水平面。② 已知圖形中平行于X軸或Y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于X'軸或Y'的線段。③已知圖形中平行于X軸或Y軸的線段，在直觀圖中，長度都不變。

參考文獻：

[1]曹才翰，沈復興，等.中國中學教學百科全書——數學卷.沈陽出版社，1991.

[2]劉紹學，王申懷，等.普通高中課程標準實驗教科書——數學2.人民教育出版社，2004.

[3]劉紹學，王申懷，等.普通高中課程標準實驗教科書——數學2教師教學用書.人民教育出版社，2007.

（廣東外語藝術職業學院）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。