逆向解題例說

有些問題若正向思考非常繁瑣，甚至無從下手。我們若改變思維的方向，從問題的反面考慮，常常能出奇制勝，絕處逢生。

例1：一個多邊形的內角中最多有幾個銳角？

分析：本題若正向求解，運用多邊形內角和公式（n－2）·180，很難說得清。不妨這樣思考，因為多邊形外角和等于360°，所以它的外角中最多可以有3個鈍角或4個直角。又因為多邊形的每一個內角都與一個外角互補，所以多邊形內角中最多有3個銳角。

例3：已知二次函數y=mx2+2mx+m+1，y=x2+2x+2m，y=x2-m+1 至少有一個二次函數的圖像與x軸有交點，求m的取值范圍。

分析：三個二次函數的圖像至少有一個與x軸有交點的情況可能有七種，逐一討論很復雜。若從問題的反面考慮，注意到三個二次函數的圖像與x軸均無交點的情況只有一種，這樣先寫出m的取值范圍，再從整個實數中去掉這個范圍即可。

此例題運用逆向思維從反面下手，收到事半功倍的效果。

例4：右圖中的算式表示四位數abcd與數9的積是四位數dcba ，那么a、b、c、d這四個數字分別是_______。（2003年江蘇省第18屆初中數學競賽初一試卷第1試題）

分析：若按通常解法，當“字謎”去猜，漫無邊際地去猜，當然難以奏效，而直接演算，無疑行不通。怎么辦？我們不妨運用逆向思維進行“反序推算”。被乘數是四位數，與9的乘積也是四位數，顯然a只能等于1，則d=9。由此可見被乘數的百位數b必小于1或等于1，這樣b只能是1或0，若b=0，c=8；當b=1，c=7時，那么與d=9相矛盾（積為四位數），故不符合題意。因此a、b、c、d的值只能是1，0，8，9。

過去所說的“逆推順算”法僅是“分析法”與“綜合法”的結合，而在這里我們討論的是運用“逆向思維，反序推算”出最后結果。顯然這兩者有異曲同工之處，但后者又有事半功倍之妙。

下面我們大家一起來做幾道題，方法自選，不拘一格，孰優孰劣，不言自明：

1. 池塘中的浮草，每天生長為原來面積的2倍，已知經過15天長滿整個池塘，問長滿池塘一半時需要多少天？（答案：14天）

2. 已知a、b、c是實數，a+b+c=0，且a>b>c

求證：拋物線y=ax2+bx+c=0，開口向上。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。