新課程下的高中數學概念教學設計

摘 要：數學概念是高中數學的重要組成部分，數學概念的學習與教學是最重要的課題之一。筆者在新課程理念的指導下，談談高中數學概念的教學設計。

關鍵詞：數學概念 新課標 新課程理念 教學設計

1 問題提出

數學概念是數學知識的細胞，也是思維的單元，是學生在學習數學中賴以思維的基礎。只有樹立了正確的概念，才能牢固地掌握基礎知識，概念不清就談不上進一步學習其他數學知識。數學教育改革的不斷深入，對數學概念學習也提出了更高的要求，高中數學新課標的課程目標中指出：“獲得必要的數學知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數學思想和方法，以及它們在后續學習中的作用?！睆恼n程目標中可以看出，數學概念是高中數學的重要組成部分。因此，數學概念的學習與教學是最重要的課題之一。然而，傳統的數學教學，注重數學概念內涵的教學，忽視概念的外延，忽視學生的認知結構，甚至灌輸孤立的數學概念。于是，學生會在學習數學時出現種種問題，這與沒有掌握好有關的數學

概念有很大的關系。本文在新課程理念的指導下，談談高中數學概念的教學設計。

2 教學設計

教學設計(Instructional Design，簡稱ID)也稱教學系統設計(Instructional System Design)，國內外學者有自己的觀點，如加涅(R. M. Gagne，1987)認為：“教學系統設計是計劃教學系統的系統化過程?！眹鴥葘W者烏美娜先生認為：“教學設計是運用系統方法分析教學問題和確定教學目標、建立解決教學問題的策略方案、試行解決方案、評價試行結果和對方案進行修改的過程，它以優化教學效果為目的，以學習理論、教學理論、和傳播學為理論基礎?！睆纳鲜鰧虒W設計的定義可以看出，所謂教學設計，也就是為了達到教學目標，對“教什么”和“怎樣教”進行的規劃。教學設計的研究對象是對不同層次的教學系統的各個教學環節進行具體計劃和決策的過程；教學設計是為解決教學實際問題而創設一個有效的教學系統；教學設計是基于一定的理論基礎(如傳播理論、學習理論、教學理論等)應用系統科學的方法對教學系統的各個要素、結構和功能進行整體研究，從而揭示教學要素之間必然的、規律性的聯系，達到教學過程的優化控制，使教學效果最優化。教學設計與課堂教學是教學工作的兩個很重要的環節，凡事“預則立，不預則廢”，教學設計是課的“靈魂”，它很大程度上決定了教學過程和教學效果，事實上，教學設計的根本使命或許就是給學生提供一個良好的受教育的環境，為它們的發展設計一個“系統”的發展計劃，使學生們能夠在這樣的環境中得到最合適的發展機會，能夠最充分地用運自己的潛能發展自我。

數學教學設計是指基于一定的數學學習規律、數學教學規律、數學學科的特點等，應用系統科學的方法對數學課堂教學系統的各個要素、結構、功能進行整體研究，從而揭示教學要素之間必然的、規律性的聯系，達到數學教學過程的優化控制，使數學教學處于有效教學的系統過程。數學課堂教學設計的確定既取決于具體的數學內容和培養目標，又依賴于具體學與教的理論的支持。

3 數學概念教學設計

3.1 數學概念的學習原理

數學概念是數學知識的基本單元。從理解的層面看，掌握數學概念不僅要簡單地用語言將數學概念表述出來，而且要真正理解概念的內涵和外延，表現為能對數學對象進行識別和歸類，用自己能夠接受和可以儲存的形式對概念的本質屬性或特征進行理解。數學概念的獲得有兩種基本方式：概念形成與概念同化。

概念形成是學習者在對客觀事物的反復感知和進行分析、類比、抽象的基礎上概括出某一類事物本質屬性而獲得概念的方式。近年來關于概念形成的心理活動過程的研究表明，概念的形成有以下幾個階段：

①辨別不同的刺激模式，在教學環境下，這些刺激模式可以是學生自己感知過的經驗或事實，也可以是教師提供的有代表性的事例。

②分化和類化各種刺激模式的屬性，各種具體模式的屬性不一定是共同屬性，為了找出共同屬性，就需要將從具體刺激模式中分化出來的屬性進行比較。

③提出和驗證假設，一般來說，事物的共同屬性不一定是本質屬性，因此，在數學概念的學習過程中，學生首先要提出各個刺激模式的本質屬性的假設，然后在特定的情景中檢驗假設以確認出概念的本質屬性。

④把新概念從以前學過的相關舊概念中分離出來，把新概念的本質屬性推廣到這個類目的一切例子，這個過程實際上是明確概念外延的過程，也是新概念與其他舊概念相區別的過程。

⑤用符合習慣的數學語言和符號表示新概念，即形式化。

概念的同化是指：在教學中，利用學生已有的知識經驗，以定義的方式直接提出概念，并揭露其本質屬性，由學生主動地與原有認知結構中的有關概念相聯系和掌握概念的方式。以概念同化的方式學習數學概念的心理活動大致包括以下幾個階段：

①辨認。

②同化。建立新概念與原有概念實質性的聯系，把新概念納入已有的認知結構中，使新概念被賦予一定的意義。

③強化。通過辨認概念的肯定和否定例子，使新概念和原有概念精確化。

然而，我國傳統數學概念教學大多采用“屬+種差”的概念同化方式進行的。學者張奠宙先生認為，數學概念具有過程—對象的雙重性，既是邏輯分析的對象，又是具有現實背景和豐富寓意的數學過程，因此必須返璞歸真，揭示數學概念的形成過程，讓學生從概念的現實原型、概念的抽象過程、數學思想的指導作用、形式表述和符號化的運用等多方面理解一個數學概念，使之符合學生主動建構的教育原理，僅從形式上做邏輯分析(屬+種差)讓學生理解概念是遠遠不夠的。

杜賓斯基（美國）等人對學習數學概念的研究表明，數學概念的認知過程經歷四個階段：①Acton(活動)階段，通過活動讓學生親身體驗、感受直觀背景和概念間的關系；②Process(過程)階段，過程階段是學生對活動進行思考，經歷思維的內化、概括過程，學生在頭腦中對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質；③Object(對象)階段，對象階段是通過前面的抽象，認識到了概念的本質，對其進行“壓縮”并賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個思維中的具體對象，在以后的學習中以此為對象去進行新的活動；④Scheme(圖式)階段，“圖式”的形成是要經過長期的學習活動進一步完善，起初的圖式包括反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經過學習，建立起與其他概念、規則、圖形等的聯系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。這個被稱為APOS的理論，不但清楚地指明了學生建構數學概念的層次，而且為數學教師如何進行數學概念的教學提供了一種具體的策略。

3.2 數學概念教學設計的模式

根據數學概念的學習原理，提出以下幾種數學概念教學設計的模式。

(一) 概念形成模式：具體例子或形成概念域（系）——觀察共性——抽象本質——形成定義——強化概念——概念應用。

* 操作程序：教師提供概念的正例——學生概括例子的共同、本質的屬性——討論、觀察、思考——師生共同歸納實例的本質屬性——給出定義——學生舉正例、教師舉反例——概念應用——形成概念域（系）。

* 案例（人教A版必修1函數概念教學設計）

1) 先給出兩個實例，炮彈發射時間與高度的關系，歸結為數集A={t|0≤t≤26}與B={h|0≤h≤845}的對應關系。臭氧層空洞的面積隨時間變化情況，歸結為數集A={t|1979≤t≤2001}與B={s|0≤s≤26}的對應關系。

2) 引導學生觀察思考例子的共性，回答表中恩格爾系數和時間（年）的關系。進而設置思考題：“分析、歸納三個例子，它們有什么共同點？”

3) 師生共同歸納上述幾例的共性，得到：對于數集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數集B中都有惟一確定的y和它對應f：A→B。

4) 給出函數的定義。

5) 強化概念，要求學生舉例，如y=2x+1，y= ……教師可以舉反例，如y=± ，下例是否為函數……

6) 概念應用與形成概念域（轉入函數相關命題學習）。

（二）概念的同化模式：先行組織者——定義概念——強化概念——概念應用——形成概念域（系）。

* 程序：呈現先行組織者——給出定義——概念的辨認、剖析與同化——強化概念——概念應用。

* 案例（人教A版必修2直線與平面垂直概念教學設計）

1) 呈現學生已經習得的生活中的例子（呈現先行組織者），如旗桿與地面的位置關系、大橋的橋柱與水面的位置關系等等。

2) 給出直線與平面垂直的定義。

3) 辨認、剖析概念。區別“任意一條”與“無數條”的關系，把直線與平面平行與垂直作一比較，從而完善直線與平面位置關系的認知體系。

4) 強化概念。除定義外，如何判斷一條直線與平面平行？進一步研究直線與平面垂直。

5) 直線與平面垂直概念的應用。

6) 形成概念系。

（三）問題引申模式：問題情境——問題解決——引入概念——強化概念——概念應用——形成概念域（系）。

* 程序：創設問題情境——引導學生解決問題——在解決問題中形成概念——強化概念——概念應用。

* 案例（人教A版必修1二分法概念教學設計）

1) 創設問題情境。如電話線路的維修問題，“幸運52”的猜商品價格的問題等等。

2) 引導學生思考解決上述問題的方案——采用逼近思想。如上述的電話線路的維修問題，可以從中間一根電話桿開始檢測，若正常，則故障在后面；若不正常，則故障在前面，一直有這樣的方法逼近故障點，最后把問題解決。

3) 引出函數的零點問題，給下定義。

4) 用二分法求函數的零點。如怎樣求方程x +2x-1=0的近似解。并歸納二分法求函數零點的步驟。

5) 概念強化與應用。借助計算器或計算機，用二分法解決求方程近似解問題。

總之，數學概念教學是高中數學教學的重要組成部分，新課標下的數學概念教學地位尤為突出，這一點一定要引起我們的重視。令人欣喜的是，人教A版數學新教材數學的概念大都是按照概念形成、概念同化與問題引申的模式編寫的，因此，我們一定要在數學概念學習原理的指導下，按照學生的認知規律進行數學概念教學設計。

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