略談整體思想在解題中的應用

摘 要：本文通過例舉十二個有代表性的數學問題，突出了整體思想在解題過程中的重要性。運用整體思想解決問題，能使我們輕易擺脫局部對象一時難以弄清的細節，開闊視野，拓寬思路，優化思維品質。

關鍵詞：整體思想 優化解題過程

數學思想方法是對數學知識內容和所使用的方法的本質認識。它是從某些具體數學問題的認識過程中提煉出來的一些觀點，在后續的研究和解題實踐中被反復證實其正確性后帶有一般意義和相對穩定的特征，是對數學規律的理性認識。在新課標中，雖然數學思想方法沒有作為獨立的教學內容，但在數學教學中數學思想方法的逐步滲透，卻是新課標明確要求的。

整體思想是一種重要的數學思想。整體思想就是把問題看成一個完整的整體，注重問題的整體結構和結構改造的思維過程，運用整體思想可以改進和優化解題過程，也常使不少在常規思路下難以解決的問題找到了簡潔的解法。

運用整體思想考察問題，可使我們不糾纏于局部細節，而能拓寬思路，開闊視野，洞察問題中整體與局部的關系，起到一舉解決問題的作用，所以整體思想是解決數學問題常用的數學思想方法，本文舉例談談整體思想在解題中的應用。

故6個式子不可能都是正的。

例5一個水池裝有標號為①②③④⑤五個水管，它們有的是進水管，有的是出水管，下面表中提供了水管工作情況的信息。

若將所有水管同時打開，幾小時可將空池注滿。

解析：這類題日常在數學競賽中看到，通常我們考慮到方程組，設各水管注水效率分別為x、y、z、u、t（出水管的效率為負值），由題意可列方程組。

現在是4個方程解5個未知數，但是我們并不關心每個水管的效率或單獨注滿水池的時間，只關心它們效率的總和或全部打開的注水時間，于是我們把全部水管看作一個總體，考慮它們的效率之和。

比較兩種解法，優劣一目了然。

例8桶中裝有20千克純酒精，倒出a千克，加入a千克水，然后再倒出a千克混合液，再加入a千克水，這時桶內溶液含純酒精5千克，求a。

解析：這是一道相當流行的應用題。（原來題目中用的單位是升，筆者曾做過一個實驗，20ml酒精與20ml水混合后，液體總量不是40ml，而是約38.6ml，這是因為分子間有空隙，因此用升做單位使題目失去科學性，現改為質量單位千克。）

常規思路為按操作順序20千克減去第一次倒出的純酒精，再減去第二次倒出液體中所含的純酒精，等于剩下溶液中所含的5千克純酒精，可列方程：

20-a- =5，從中解出a＝10。

這一解法學生在理解上有一定困難。當我津津有味地講完這一解法時，我的一位學生提出一個極妙的解法：把第一次倒出再加水后的混合液當作一個整體，它與第二次倒出剩下部分未加水時的溶液是同一種溶液，其酒精的質量分數相同，有 = ，很快求出a＝10。

真是石破天驚，學生得到這一解法真使我興奮不已，整體思想在這里大放異彩！

例9甲、乙兩人相距100米，他們1米/秒相同的速度相向而行，一只狗以2米/秒的速度從甲身邊跑向乙，遇乙后立即轉向甲跑，如此往復，直到甲乙相遇為止，問狗一共跑了多少米？

解析：按常規思考，以分段計算的辦法進行，先求狗開始到第一次遇乙所跑的路程，再求再次遇到甲所跑的路，如此來回往復……再把各段路相加，具體計算并不一帆風順，現作整體思考（由于狗的速度已知），要求狗跑的總路程只要知道狗跑的總時間。而這一時間正好是甲乙兩人從開始到相遇的時間為50秒，故狗所跑的總路程為2×50＝100（米）。

例10四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，DC＝1，AD＝2，求它的面積。

解析：按常規，總想通過分割法把它分割若干個易求面積的部分分別求出以解決問題，但這里碰到了困難。從直角和60°角使我們聯想到特殊的直角三角形，原來的四邊形ABCD是一個直角三角形整體的一部分，我們將圖形補全為一個整體，延長BC、AD相交于E，這樣易求出

這種整體補形解決問題的例子很多，如：

一個六邊形，每個內角均為120°，連續四條邊的長依次為1，2，2，1，求這個六邊形的面積。

這個六邊形是一個正三角形整體的一部分，可將各邊延長，補形成正三角形PQR，問題就易于解決了。

例11正方形內有2007個點，與正方形的頂點共2011個點，這些點無三點共線，求以這些點為頂點把正方形分割成的小三角形的個數。

若從整體思考，把所有小三角形作為一個整體，它們填滿了整個正方形，這些三角形的內角填滿了正方形的四角和內部每個點為頂點的周角，因此內角總和為4×90°＋2007×360°＝2008×360°＝4016×180°，故有4016個小三角形。

兩種不同的解法，使人有“橫看成嶺側成峰”的感覺。第一種解法直接從三角形個數增加的規律上思考，注重局部細節分析。第二種解法對全部三角形從整體上作內角總和的考慮。雖各有千秋，但我們認為第二種解法更為簡潔明快些，也正是體現了整體思想的優勢。

通過以上多個例子，說明運用整體思想解決問題時，總是從整體著眼，再考察局部對象的特征，從而擺脫了局部對象一時難弄清的細節，開闊了視野，看清了問題的脈絡，找出其內在規律，把不易求解的結構改造成易于求解的新結構，使解題過程有了質的飛躍。從中我們的智慧在思維的碰撞中得以啟迪，思維品質得到了優化。我們要積極引導學生養成整體分析的思維習慣，提高他們的整體意識，促進教學能力的不斷提高。

參考文獻：

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［４］曹耀宗.初中數學奧林匹克競賽題精講.南京出版社，1993.

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