差異指標之“差異”

摘 要：在統計學及其相關課程中，關于差異指標內容的教學要點，一是其意義，二是種類。差異指標的種類很多，各有自己的計算方法和特點。在教學中要注意兩點：正確理解不同指標之間的差異；正確理解同一差異指標值在實際背景中釋義的差異。

關鍵詞：差異指標 差異指標的差異

在統計學及其相關課程中，有關差異指標（也稱“差異量數”，下同）的教學要點有二：一是差異指標的意義，二是差異指標的種類。前者的要義可概括為：綜合反映總體（或樣本）各個單位標志值（或數據）的差異程度（或離中趨勢、離散程度等）；后者的意思是說：差異指標的種類很多，它們各有自己的計算方法和特點。如果我們把后者的這種不同種類、特點也統稱做“差異”的話，那么，我們在統計學有關學科的教學過程中，就應把這兩個方面的“差異”向學生交代清楚，使他們對差異指標之“差異”有個客觀、全面而準確的理解，從而避免由于理解的片面性得出錯誤的判斷。

一、正確理解不同差異指標之間的“差異”

人教版初中代數第三冊教師教學用書第171頁有這樣一段話：“在表示各數據與其平均數的偏離程度時，……為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而要將它們平方，……這主要是因為在很多問題里含有絕對值的式子不便于計算，且在衡量一組數據波動大小的‘功能’上，方差更強些。例如有兩組數據：

甲 9 ，1 ，0 ，－1 ，－9；

乙 6 ，4 ，0 ，－4 ，－6。

從直觀上看，甲組數據的波動要比乙組數據大些，但它們的平均差都是4，區分不出其波動大小；而甲組數據的方差是32.8，乙組數據的方差是20.8，用方差可將它們的波動大小區別開來。”

其實，上述的一段描述是在告訴讀者這樣一個命題：在平均差與方差（或標準差）之間，方差（或標準差）表示數據波動大小的“功能”強于平均差。

這個命題是真的么？請看下一個例子：

在一次射擊比賽中，甲乙兩射手成績記錄如下：

甲 9 ，7 ，9 ，9 ，7 ，7 ，7 ，9；

乙 6 ，8 ，8 ，8 ，10 ，8 ，8 ，8 。

計算他們的平均值、標準差、平均差（如表）。

在這里，兩組數據的標準差都是1，區分不出波動的大小，但甲組的平均差為1，乙組的平均差為0.5，我們通過平均差得出結論：甲組成績的波動性大于乙組的波動性。于是又否定了上述命題，并得到一個于完全相反的命題（敘述從略）。

顯然，若綜合以上兩種（假）命題，取其正確部分的話，那么，正確命題應為：

平均差和標準差（或方差），在所反映的總體（或樣本）單位標志值的差異性上具有一致性，但區分這種差異大小的“功能”誰更強些不是絕對的。

那么，為什么人們在學習、應用統計學的多個差異指標時更多關注的是標準差呢？主要有以下理由：（1）反映靈敏，它隨任何一個數據的變化而變化；（2）嚴密確定，一組數據的標準差有確定的值；（3）適合代數運算，可以將幾個標準差合成一個總的標準差；（4）可以用樣本數據推斷總體差異量；（5）在計算其它統計量時，如差異系數、相關系數、標準分數等，都需要標準差。

二、正確理解同一個差異指標值在實際背景中釋義的“差異”

某社出版的數學輔導教材有題如下：

甲乙兩組學生各有8人，參加某門學科測試成績如表2（100分制），請比較兩組學生的成績哪組較好一些。

因為 ，甲組成績的波動比乙組小一些，所以甲組學生的成績較好一些。

筆者認為：標準答案制訂者是建立在“組內學生之間學習差異越小，成績越好”的教育教學理念下做出這一判斷及結論的。要知道，在新課程的教育教學理念下是允許學生與學生之間存在差異的，倡導學生在學習各門課程時敢于“冒尖”、創新，不搞“一刀切”，要讓學生在全面發展的基礎上培養個人特長。在評價學生時，以多元智能理論為依據，多方法、多手段、多尺度地考查學生的學習效果。基于此，我們又可以認為乙組的成績好于甲組。甚至，倘若再對照例題中兩組學生的其他指標情況，比如優秀率：若規定90分以上為優秀，則兩組持平；若規定85分以上為優秀，則甲組為1/8，乙組為1/2，也會得出乙組的成績好于甲組的結論。

總之，我們在用統計中差異指標的“差異”值解釋現實現象并下結論時，不可以將教材中所說的變異指標值愈小，對相應平均指標的代表性愈好、穩定性也好，機械地認為“一切都好”，這是對差異指標本質的誤解和歪曲。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”