解決線段ｍ＋ｎ＝ｐ的兩種基本思路

義務(wù)教育八年級學(xué)生在學(xué)習(xí)證明內(nèi)容時，對于線段m=n的證明能比較容易地找到思路，對于m+n=p的證明，很多同學(xué)感到比較吃力，找不到解決方法. 現(xiàn)介紹兩種基本思路，以供參考.

1 “截長”

（即在p上截取一線段a使之等于m，然后證明剩下的線段等于n便可. ）

(1)長線段上有截點.

圖1例1 已知：如圖1，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，AM⊥EF，垂足為M，且AM=AB. 求證：EF=BE+DF.

分析 截點M已經(jīng)把長線段EF截成了兩段EM和MF. 我們只要證明BE和DF與EM和MF對應(yīng)相等便可.

證明 連結(jié)AE和AF. 因為AB=AM，∠ABC=∠AME，AE=AE，所以△ABE≌△AME，所以BE=ME，

同理可證△ADF≌△AMF，得到DF=MF. 所以ME+MF=BE+DF，即：EF=BE+DF.

(2)長線段上無截點

圖2例2 已知：如圖2，AC∥BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，

CD過E點，求證：AB=AC+BD.

分析 在AB上截取AF=AC，再證BF=BD便可.

證明 在AB上截取AF=AC，連結(jié)EF.

在△ACE和△AFE中,

AC=AF,∠1=∠2,AE=AE,

所以△ACE≌△AFE，

所以∠C=∠5.

又因為AC∥BD，

所以∠C+∠D=180°.

又因為∠5+∠6=180°,

所以∠D=∠6.

在△BFE和△BDE中,

∠D=∠6,∠3=∠4,BE=BE,

所以△BFE≌△BDE,

所以BF=BD,

所以AB=AC+BD.

2 “補短”

（即把線段m和n補成一條線段，證明所得的線段與p相等. ）

(1)直接補短.

圖3例3 正方形ABCD中，E為AD上一點，BF平分∠CBE交DC于F.

求證：BE=CF+AE.

證明 延長FC到N使得CN=AE,

因為ABCD為正方形,

所以△BAE≌△BCN,

所以∠3=∠4,BE=BN.

又因為∠1=∠2,

所以∠1+∠4=∠2+∠3.又因為∠BFN=∠1+∠4（內(nèi)錯角）,

所以∠BFN=∠2+∠3,

所以BN=FN,

所以BE=FN=FC+CN=FC+AE.

(2)間接補短.

圖4例4 參看例2

分析 如果延長BD到F直接使得DF=AC，需要證明A、E、F三點共線，有一定的困難，不妨采取下面間接的方法

證明 延長BD和AE交于一點F,

因為∠1=∠2,∠3=∠4,AC∥BD,

所以∠2+∠4=90°,

所以∠BEA=∠BEF=90°,

在△BEA和△BEF中,

∠3=∠4,BE=BE,∠BEA=∠BEF,

所以△BEA≌△BEF,

AB=BF,AE=FE.

在△ACE和△FDE中,

∠1=∠F（AC∥BD）,∠AEC=∠FED,AE=FE（已證）,

所以△ACE≌△FDE,

所以AC=DF,

所以AB=BF=BD+DF=BD+AC.

作者簡介 崔現(xiàn)昌，1988年參加工作. 一直從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作，并負責學(xué)校的競賽輔導(dǎo). 曾輔導(dǎo)多人在全國競賽中獲獎，有多篇論文在省、國家報刊上發(fā)表.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”