有效開發習題 培養學生空間觀念

學生學習新知，不外乎分為兩個部分，一是書上的新知部分——例題，另一部分就是書上習題。習題是鞏固新知的主要手段，教科書中的習題大部分是訓練和培養學生基本技能方面的，而且以靜態的形式呈現。教師在教授這部分習題時，如果按部就班、照本宣科、以題講題，不但學習效果較差，還會降低學生學習數學的興趣。所以教師在使用教科書上的習題時，一定要靈活地、創造性地處理。我以蘇教版五年級下冊“圓”這一單元為切入點，這樣處理習題：把枯燥的習題變成鮮活的、情境化的習題，純文字敘述的習題變為圖文并茂的習題，靜態的習題變成動態的習題，基本技能的習題變成能力和技能相結合的練習，讓學生在鞏固幾何數學知識的同時，能力和數學素養同時得到提高，并且更好地發展學生的空間觀念。下面具體談一談我的做法：

一、創設情境，讓學生了解知識的實用價值

有人認為，情境的創設，只有在新課的開始才會使用，后面習題部分就不需要創設情境。其實不然，在進行練習時，有的題目仍然需要一定的情境。因為好多數學題都是經過提煉加工的、純數學的、人為編制的，學生不了解它的實用價值，不了解它的來龍去脈，再加上呈現形式的單調，學生會感到枯燥、乏味，這樣會影響學生的學習興趣。例如，已知圓周長求圓面積的習題，由于呈現形式是冷冰冰的，再加上計算的繁瑣，好多學生認為是教師故意為難他們，導致學習情緒低落。所以，有些題目很有必要加上情境，讓學生經歷數學化的過程。例如107頁的第4題：

小華量得一張圓桌面的周長是3.768米。這張桌面的面積是多少平方米?

這是已知周長求面積的習題，我創設了這樣的情境：一支森林資源考察隊發現了一棵3人才能合圍的大樹，現要知道這棵大樹的橫截面(圓形)面積，卻無法直接量出半徑，怎么辦?

這一新奇的問題，引起了學生強烈的認知興趣和探究欲望。他們你一言、我一語地發表自己的設想。很快有人提出，最好的辦法是用皮尺或繩子量出樹干外圍的周長，然后通過周長算出半徑，就能運用圓面積公式計算了，這個辦法得到了大家的一致贊同。

我充分肯定了學生的發現，并因勢利導：在很多時候，量出半徑是不可能的或很難實現的，所以，通過圓周長求圓面積是解決許多實際問題的需要。接著，我告訴學生：森林探險隊叔叔們的想法和你們是一樣的，用3根皮帶接起來量得大樹的周長是3.768米。請同學們計算出這棵大樹的橫截面積是多少平方米。這樣很自然地引出了習題，并使學生產生了進一步探究、學習的欲望。

在以后的教學過程中，學生的思維十分活躍，在教師的點撥下，運用原有的知識將圓周長公式變形為：r=c/2π從而找到了根據圓周長計算半徑的一般方法。然而，有一些學生并不滿足。他們在計算過程中經過思考和討論，并在教師的啟發下，竟然推導出能將圓周長直接代入計算面積的公式，即s=c²/4π，使問題得到了圓滿解決。

上述教例表明，根據習題的需要，適當、適宜地創設情境，啟發學生理解學習內容在現實生活中的具體意義，了解知識的實用價值，有助于誘發學生的學習動機，調動學生學習數學的積極性和主動性。通過本習題的教學還表明，把抽象的文字敘述題變為圖文并茂的、生動可感的情境題，直觀、形象，有利于發展學生的形象思維和空間想象力，增強空間觀念。

二、以問題為核心。滲透數學思想

為了培養學生的提問能力以及解決問題的能力，為了對學生進行數學思想方法的浸潤，我把“圓”這單元的有些習題改變為問題解決，進行問題解決教學，不但培養了學生的提問能力、解決問題能力，還更好地進行了數學思想方法的孕育，使學生對幾何世界的認識更加深刻，對幾何知識的理解更加深入。例如，第110頁的第10題：

劉大爺用15.7米的籬笆靠墻圍一個半圓形的養雞場(如下圖)。這個養雞場的面積是多少平方米?

本題的設計意圖是運用圓周長解決生活中的實際問題，根據書上提供的信息學生很容易解答出來，但是學生解答完這個題目以后，并不會留下深刻的印象，并不會形成利用圓周長解決生活中的實際問題這種意識。

于是我進行了改編：把抽象的文字全部刪除，將題目中的數字和圖結合起來，變成數形結合，同時把數據15.7改為18.84，這樣便于計算，原來完整的雞圈圖拆成兩部分(如下圖)。

教學時，先出示第一部分小雞和墻的圖，緊接著出示18，84米長的籬笆。

師：同學們，劉大爺要用籬笆把這些雞圍起來，你能想到哪些數學問題?

生1：雞圈可以圍成什么形狀?

生2：怎樣圍最美觀?

生3：怎樣圍雞圈面積最大?

師：能否給老大爺提些有益的建議呢?

生1：我想建議老大爺把雞圈圍成長方形，并且盡量長一些，這樣墻被盡可能多地占用，可能面積還會大一些。

生2：我反對，墻被占用得多，圍得長方形越長，面積會越小，應該是正方形的時候面積最大。

生3：我想建議老大爺把雞圈圍成正方形。這樣方方正正的，很漂亮。

生4：我覺得，如果地方很大，就把雞圈圍得盡可能大，這樣小雞在里面活動也自由；如果地方較小，靠近路邊，就盡可能圍成長方形，不影響路邊行人走路；如果老大爺愛美，就圍成正方形，這樣美觀。

師：你考慮問題很全面、很周到。

生5：我想建議劉大爺圍成半圓形，半圓形也很漂亮，面積不是太大，也不是很小。

師：呵呵!你肯定圍成半圓形面積不大也不小?

生5：我想是的。

師：那就請同學們拿起筆來，算一算，到底怎樣圍面積最大?圍成半圓形時面積是不是不大也不小?

通過計算驗證，圍成半圓形的時候，面積最大。

緊接著，我相機引導學生總結：由此，你們還能聯想到什么，還能夠得到什么規律?學生通過討論、猜想、驗證得出：在周長一定的時候，圍成的圖形中圓面積最大。

這樣的教學，學生不僅學會運用圓周長解決生活中的實際問題，而且數學應用意識得到了真正的提高，更重要的是問題意識的提高和解決問題能力的發展。同時，通過這樣的改變，還對學生進行了數學思想方法的孕育。例如，通過改變呈現形式，分步呈現，滲透數形結合的思想，滲透由分到合的思想；通過讓學生提問題，滲透數學美的思想，滲透人文的思想；通過驗證圍成什么形狀的時候面積最大，滲透猜想、驗證的科學探究思想，滲透極值的數學思想：最后通過提煉、歸納，總結數學規律，又一次滲透猜想驗證的思想和類推、聯想的數學思維方法，使數學知識得到了升華，數學能力得到了提升。

三、動手操作，異中求同

幾何題的教學，如果把靜態的習題變為動態的操作題，讓學生在動手操作中，在手腦并用的心智活動中，探索圖形的性質和變化規律，不但能夠提高學生的解題能力，還能讓學生感受到幾何世界的豐富多彩，會收到非常好的教學效果。

例如，教學107頁的練習十九第7題：下圖(圖1、圖2、圖3)3個正方形的邊長都是3厘米，涂色部分的面積相等嗎?為什么?

本題的設計意圖是通過計算或觀察，總結出3個圖形的涂色部分面積相等。學生通過計算或觀察都能夠總結出涂色部分面積相等，但是解決問題的策略只知道用正方形面積減去空白面積，只停留在表層。沒有深入到數學問題解決的本質上去，沒有得出規律性的東西。

我這樣教學：只出示圖1。讓學生求出陰影部分的面積，然后引導學生總結規律：你能在這個正方形中畫出比這個圓更大的圓嗎?學生怎么也畫不出比這個圓面積更大的圓了，最后得出：正方形中最大的圓是直徑等于正方形的邊長的圓。

規律得出來以后，我并沒有就此罷休，而是把它作為解決下面問題的依據，要求學生發揮各自的想象力，動手設計出正方形減去一個最大圓面積的圖形。學生們興致盎然，積極性非常高漲，畫出了十幾種美麗的圖案。

通過這樣的教學，學生學到的何止是探討3個圖形的涂色部分面積相等，學到的是如何去探索數學規律，如何應用數學規律去創造數學，去創造美麗的幾何圖案；學到的是數學能力，是空間想象的能力，動手操作的能力，手腦并用的能力；學到的是數學思維的方法，是求同思維的方法，求異思維的方法：感受到的是幾何世界的豐富多彩，孩子們在其中盡情地享受著創造的快樂。