談分類討論思想的教學

在我們生活周圍有許多復雜的事物，難以理清頭緒，從而不能迅速地認清問題、解決問題。但生活經驗告訴我們，把復雜問題分開成若干個相對簡單的小問題，逐一討論，最終使問題得以解決。這種將事物先分類，然后對每一類分別進行研究，從而解決問題的思想是分類討論思想。分類的思想是自然科學乃至社會科學研究中經常用到的，又叫做邏輯劃分。不論從宏觀上還是微觀上對研究對象進行分類，都是深化研究對象，發展科學必不可少的思想。

分類討論又叫邏輯劃分，是一種重要的數學思想

1.在教學中滲透數學思想的意義。數學思想是對數學事實﹑概念﹑理論和方法的本質認識，是分析和處理數學問題所用數學方法的指導思想。如果說教材內容是一條“明河流”，那么數學思想就是貫穿整個教材的“暗河流”。它隱藏在數學概念﹑公式、法則等知識的背后，反映了這些知識的共同本質，它具有高度的概括性和抽象性，因而更深刻﹑更本質，對認識結構的發展起著重要作用，是知識轉化為能力的橋梁，因此教師對數學思想的教學應予以高度重視。

2.什么是邏輯劃分。所謂邏輯劃分是把一個概念分為若干個種概念，即將大類分為若干子類，從而借助特殊﹑直觀﹑生動的種概念，明確屬概念的外延的邏輯方法。它是明確概念的必要方法，從而把握對象的本質和規律。其實質是整體化為部分，然后逐一解決，最終歸納出問題的答案。

3.什么是分類討論思想。分類討論思想是數學思想的一種，它是解答數學問題的一種重要的思想方法和解題策略，它是為了解各種因素制約著的數學問題，使原本變換不定的問題，分解成若干相對確定的問題，化整為零，各個擊破，從而解決問題。這種思想對提高學生全面﹑周密地分析問題和解決問題的能力起到十分關鍵的作用。由于數學中的分類討論思想也屬于邏輯劃分，所以在解題過程中我們應遵循一定的規則，避免反邏輯錯誤。在教學大綱中分類討論的定義是這樣給出的：在研究數學問題時，根據某一標準把研究的對象進行分類，然后按類進行討論。簡而言之，就是先分類﹑后討論。因此在教學中首先應明確分類是討論的前奏，討論是分類的延續，本著先易后難，循序漸進的原則，把分類討論思想分成兩個層次，即分類思想和討論思想。教學中要使學生確立分類思想，學會分類方法。顯然相對于分類思想，討論思想是教學的難點，因此在教學時做到“有的放矢”，強化分類意識，傳授分類方法。

分類討論的過程教學

將分類討論思想應用到解題過程中，就是要解決“為什么要分類”﹑“怎樣進行分類”﹑“如何正確分類”等問題。

1.何時要分類討論。一方面，如以上所述當問題涉及有些概念﹑性質﹑參數和圖形時，要用到分類討論，這時要注意考慮全面，不要漏掉“個別”情況。比如:

例若則的值是多少。

評析由等比性質，若則。因此當時，易得；當時，有得。（解題中容易忽略的情況，而漏掉的解）。

另一方面，是在解題時分類時機的把握。把握分類時機，就是要求分類既不超前，也不滯后。超前討論意味著時機尚不成熟的情況下分類，因而分類標準難以確定，從而導致分類無法順利進行——至少分類是糊涂的﹑盲目的;滯后討論表明分類是在失去討論時機的情況下進行的，因而分類前所做的運算或推理必然是錯誤的——至少是不嚴密的。例如不等式先將原不等式化為最簡形式然后再進行討論，得，，，這樣思路既簡單又清晰。

2.如何進行正確分類。要進行正確分類，必須遵循三個原則：一是要確定分類標準，并保持一致；二是分類既不重復又不遺漏；三是當討論對象不止一個時，應分層次進行，注意避免犯越級劃分的邏輯錯誤。如果我們用數學語言描述就是把全體對象看作集合把分成若干個非空小集合，且滿足條件:=1，2，…，此外，由分類討論的定義我們還可以總結出分類討論的一般步驟：第一，確定討論對象和需要分類的全集；第二，確定分類標準；第三，確定分類方法；第四，逐項進行討論；第五，歸納小結。這些要在平時的教學和練習過程中潛移默化地灌輸到學生的思想中去。

計算機輔助教學

多媒體的應用為學生創設了一個良好的學習環境，尤其是分析圖像時，通過動畫，應用旋轉﹑平移﹑分割疊加等方法，直觀清晰地展示新知識的發生﹑發展﹑變化演進的過程，將教材由靜態變為動態，由單調變為豐富，使教材變得生動﹑鮮活起來，使學生的認識由感性認識上身上升到理性認識，架設起邏輯思維與形象思維相互補充﹑相得益彰的思維通道。計算機上的數學實驗，讓學生觀察﹑驗證分類的正確性﹑領會分類思想。

常言道：“授人魚，不如授人以漁。”數學思想的教學是數學素質教育的一方面，分類討論思想作為一個難點，我希望能有更多﹑更好的途徑來幫助同學們去理解掌握。

參考文獻：

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[2]潘巧明.數學思想計算機輔助教學[J].數學教學通訊，2000，9.

[3]張耀.注意邏輯分類，避免解題錯誤[J].中學生與邏輯，1983，3：20-22.

作者單位：楊凌職業技術學院公共課教學部

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”