談磁偏轉的極值問題

磁偏轉的極值問題是高考考查的重點知識之一，這部分知識是物理與數學的交叉點，從歷年高考學生答題情況來看，學生運用數學知識處理磁偏轉的極值問題的能力很差，這部分知識是他們的薄弱環節，也是教師應重視的重點知識，常見的極值問題類型是：

1.求速度的極值

磁偏轉是重力不計的帶電粒子在有界磁場中的勻速圓周運動，其軌跡是圓的一段弧，當速度大小變化時，勻速圓周運動的半徑隨之變化，帶電粒子的軌跡也將變化，剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切。

例1如圖1所示，環狀勻強磁場圍成的中空區域，具有束縛帶電粒子的作用，中空區域中的帶電粒子只要速度不大，都不會穿出磁場的外邊緣，設環狀磁場的內半徑R1＝0.5m，外半徑R2=1.0m，磁場的磁感應強度B＝1.0T。若被縛的帶電粒子的比荷為=4×107C／千克，中空區域中帶電粒子具有各個方向的速度，試計算（1）粒子沿環狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度；（2）所有粒子不能穿越磁場的最大速度？

解：（1）沿環狀半徑方向射入后在環狀勻強磁場中做勻速圓周運動，不能穿越磁場的最大速度的條件是當粒子的圓弧軌跡與外邊緣相切，如圖2所示。

（R2－r）2＝R12＋r2

r==0.375(m)

由洛侖茲力提供向心力有=qVB，則：

V＝=1.5×107(m/s)

（2）射出點為內邊緣的點，恰不能穿越磁場的臨界條件仍為軌跡同弧恰與外邊緣相切，即外邊緣的某點也為圓弧上的點。如圖3所示，以AB為直徑是所有粒子都不能穿越磁場的最大直徑是：

R′＝=(m)

由洛侖茲力提供向心力有m=qV′B，則：

V′==1.0×107(m/s)

2.求運動時間的極值

由T=及t=T得運動時間為t=，當速度V一定時，弧長（或弦長）越長，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長。

例2在真空中，半徑r=3×10-2 m的圓形區域內有勻強磁場，方向如圖4所示，磁感應強度B=0.2T，一個帶正電的粒子，以初速度v0=106m/s，從磁場邊界上直徑ab的一端a射入磁場，已知該粒子的比荷=108C/千克，不計粒子重力求：

若要使粒子飛離磁場時有最大偏轉角，求入射時v0方向與ab的夾角θ及粒子的最大偏轉角β。

解：粒子射入磁場后，由于不計重力，所以洛侖茲力充當圓周運動需要的向心力，據牛頓第二定律，有：qVB=則R==5×10-2 m。粒子在圓形磁場區域軌跡為一段半徑R=5 cm的圓弧，要使偏轉角最大，就要求這段圓弧對應的弦最長，即為場區的直徑，粒子運動軌跡的圓心O′在ab弦的中垂線上，如圖5所示，由幾何關系知sinθ==0.6 ∴ θ=37° ，β=2θ=74° ◆（作者單位：江西省宜春市實驗中學）

□責任編輯：周瑜芽