運用對稱性解決初中數學問題

對稱是一種客觀存在. 大千世界，許多事物都具有某些對稱性，如：一朵紅花，一片綠葉，一只色彩斑斕的蝴蝶等. 對稱給人們以和諧均衡的美感.

對稱又是一個數學概念. 初中學生所熟悉的有代數中的對稱式，幾何中的軸對稱、中心對稱、旋轉對稱等，更一般情況是，許多數學問題所涉及的對象具有對稱性，不僅包括幾何圖形中的對稱，而且泛指某些對象在有些方面如圖形、關系、地位等同彼此相對又相稱.

對稱更是一種思想方法. 運用對稱性解決問題，既可以減少一些繁瑣的計算，使解題方法簡潔明快，又可以拓展學生的解題思路，培養學生的思維能力.

下面通過具體的數學解題來看對稱性在數學解題中的運用.

1 運用對稱性解幾何說明題

例1 如圖1，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的動點，且AE=AF. 試說明在運動過程中，△CEF是否是等腰三角形?

解法1 通過求證△FDC≌△EBC解答. (解答過程省略)

解法2 在運動過程中△CEF是等腰三角形.

因為四邊形ABCD是菱形，所以以AB與AD關于AC對稱；

又因為動點E、F分別在AB、AD上，且AE=AF，

所以點E與點F始終關于AC對稱，

所以EC與FC關于AC對稱，

所以EC=FC，所以△CEF是等腰三角形.

說明 對于此題，大部分學生能想到運用全等來解答，但不一定想到利用對稱性解答，教師應抓住教學的機會滲透對稱思想方法，以拓展學生解題思路.

圖1 圖2例2 如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點P在△ABD內部. 試說明：∠APB>∠APC.

解 作點P關于AD的對稱點P1，連接PP1并延長交AC于點E，

因為△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，

所以點B與點C關于AD對稱，

又因為點P與點P1關于AD對稱，點A在AD上，

所以△ABP與△ACP1關于AD對稱，

所以∠APB=∠AP1C，

因為∠EP1C是△PP1C的外角，

所以∠EP1C>∠EPC，同理∠EP1A>∠EPA，

所以∠AP1C>∠APC，所以∠APB>∠APC.

例3 如圖3，在△ABC中∠C=90°，點M為AB中點，點E、F分別在AC、BC上，且∠EMF=90°，試說明：AE²+BF²=EF².

解 如圖3，延長EM到點D，使DM=EM，連接BD、FD，

因為FM⊥ED，且MD=ME，所以由軸對稱性得EF=DF，

因為AB、ED互相平分于點M，

所以△AME和△BMD關于點M成中心對稱，

所以AE=BD，∠A=∠DBA，

又因為Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，

所以∠DBA+∠ABC=90°，即∠DBF=90°，

在Rt△BFD中，∠DBF=90°，

所以BD²+BF²=FD²，所以AE²+BF²=EF².

說明 用對稱性解幾何說明題，不僅要充分利用幾何圖形的對稱性，而且還要根據題設條件進行軸對稱變換、中心對稱變換、旋轉對稱變換，通過對稱變換創造對稱性.

圖3 圖42 運用對稱性求最值

如圖4，A、B為直線l同側兩定點，作A點關于l的對稱點A1，連接A1B交l于P，根據兩點間線段最短可知P為l上使PA+PB值最小的點. 這種軸對稱變換在解決相關最值問題時有廣泛的應用.

例4 如圖5，點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個動點，點M、N分別是AB、BC的中點，MP+NP的最小值是.

解析 M、N為AC同側兩定點，四邊形ABCD是菱形，所以AD的中點H與點M關于AC對稱，所以HP=MP，則MP+NP=HP+NP，根據兩點間線段最短可知：當點P在HN與AC的交點E處時，MP+NP的值最小. 根據平行四邊形的相關知識可求出MP+NP的最小值為1.

圖5 圖6例5 如圖6，平面直角坐標系中，有點A(0，3)，直線l：x=3，若一個動點P自OA的中點M出發，先達到x軸上某點(設為點E)，再達到直線l上某點(設為點F)，最后運動到點A. 求：使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長.

解析 作點M關于x軸對稱的點M1(0，-32)，點A關于直線l對稱的點A1(6，3)，由對稱性可知ME=M1E，AF=A1F，連接M1A1，根據軸對稱性及兩點間線段最短可知，當點E、F分別在M1A1與x軸、直線l的交點上時，點P的運動總路徑最短；由點M1、A1兩點坐標可求出直線M1A1點解析式為y=34x-32，從而求出點E坐標為(2，0)，點F坐標為(3，34)，由勾股定理可求出最短總路徑的長為152.

說明 軸對稱變換也是解決彈子游戲、平面鏡成像、光線的反射等問題的主要方法.

3 運用函數圖像的對稱性解決問題

拋物線與雙曲線都是對稱性圖形，巧妙地應用它們的對稱性，可以優化解題過程.

例6 已知某拋物線經過點A(-2，0)，B(-3，72)，C(5，72). 求這個拋物線的解析式.

解法1 設一般式求解(解題過程省略).

解法2 因為B(-3，72)、C(5，72)兩點是拋物線上的兩個關于對稱軸對稱的點，所以此拋物線的對稱軸為直線x=1.

又因為此拋物線與x軸交于點A(-2，0)，由對稱性可知此拋物線與x軸交于另一個點D(4，0).

據此可設此拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4)，將C點坐標(5，72)代入求得a=12，

所以這個拋物線的解析式為y=12x²-x-4.

說明 顯然解法2的計算簡捷，思維活躍，能培養學生思維能力.

圖7例7 如圖7，雙曲線y=-6x與直線y=kx(k<0)交于點A、B，過點A作AC垂直y軸于點C，求S△ABC.

解 反比例函數的圖像關于原點對稱，

直線y=kx過原點，所以A、B兩點必關于原點對稱.

所以OA=OB，所以S△AOC=S△BOC，

設點A坐標為(a，b)，則ab=-6. 由題意得AC=|a|，OC=|b|，

所以S△AOC=12AC×OC=12|ab|=3. 所以S△ABC=2S△AOC=6.

說明 對于此題，如果只從交點考慮，問題就難以下手. 運用雙曲線的中心對稱性分析此題，問題就迎刃而解了.

4 運用代數中的對稱式解決問題

如果把一個多項式的任意兩個字母互換后，所得的多項式不變就稱這個多項式為對稱式，對稱式的本質反應的是多元多項式中字母地位相同，一些對稱式的代數問題，常用最簡對稱式a+b、ab表示將問題解決.

例8 已知x>0，y>0，且x+y=2，求xy的最大值.

解 由已知條件x+y=2是定值，則x大y小，反之y大x小，即x、y是對稱的.

令x=1-k，y=1+k，xy=(1-k)(1+k)=1-k²，當k=0時，即x=y=1時xy有最大值1.

說明 x+y、xy是對稱式，根據x、y是對稱的，令x=1-k，y=1+k，是解決這個問題最巧妙的對稱思想方法.

綜上所述，在解題過程中，如果注意到對稱性并恰當地運用，不僅使復雜繁瑣的問題得以簡化，而且可以拓展學生的解題思路，激發學生的創造性思維，使學生創造性解決問題的能力得到培養. 因此，教師在平時的教學中，要引導學生充分挖掘數學形式或圖形的對稱性，自覺地運用對稱性特征去分析、解決具體問題，抓住教學契機培養學生運用對稱思想方法解決數學問題的能力.

以上是本人在多年教學過程中的一點體會，不到之處，敬請專家指正!

參考文獻

[1] 黃東坡. 培優競賽新方法(八年級)[M].武漢：湖北人民出版社.2007.154-155.

[2] 王軍.淺析對稱性在數學解題中的應用[J].今日科苑.2006，(6)：86.

作者簡介：鄒平華，女，1962年1月生，大學本科，現系江蘇江都油田第二中學數學教師(初中)，并擔任政教主任工作.

在多年的教學工作中，教學成績突出，多次被評為市、縣級優秀教師及優秀班主任. 所寫論文“淺談有理數教學中數學思想方法的滲透”在《中國科教創新導刊》上發表，“以不變應萬變”、“淺議課堂教學的引入”分別獲市級二等獎、三等獎.

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