由一道高中數學聯賽題得到的一個關系式

林新建

題目 (1982年全國第二屆高中數學聯賽)：已知：(1)半圓的直徑AB長為2r；(2)半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為點T，|AT|=2a(2a

分析：由題設|MP||AM|=|NQ||AN|=1知，動點M、N到定點A與到定直線l的距離相等，所以M、N的軌跡是以定點A為焦點，定直線l為準線的拋物線.本文將結論推廣到一般的圓錐曲線，得到如下一個有趣的統一性質.

定理 設圓錐曲線E的焦點為F，在對稱軸上F的一側取點A，以FA為直 徑作圓C與曲線E在對稱軸上方部分交于M、N兩點，則|FM|+|FN||FA|=1e(其中e為圓錐曲線的離心率).

證明：以圓錐曲線過焦點F的對稱軸所在直線為x軸，F為坐標原點建立直角坐標系.設焦點F到相應準線l的距離為p，則得F(0，0)，準線l的方程為x=-p.

設P(x,y)為圓錐曲線上一點，它到準線l的距離為d，則由題設及圓錐曲線統一定義得|PF|d=e輡PF|2=d2e2輝2+y2=e2|x+p|2.

化簡得圓錐曲線方程為(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,設圓C的半徑為R，則圓心C為(R，0)，圓C的方程為(x-R)2+y2=R2.

將圓C方程與曲線E的方程聯立，消去y得x2+2(p-Re2)x+p2=0.設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-2(p-Re2).從而|FM|+|FN|=e(x1+p)+e(x2+p)=e(x1+x2+2p)=2Re,所以|FM|+|FN||FA|=2Re2R=1e.

當曲線分別為橢圓、雙曲線、拋物線時，我們得到如下三個性質.

性質1 如圖1，橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左(右)焦點為F，在x軸上F的右(左)側有一點A，以FA為直徑作圓C與橢圓E在x軸上方部分交于M、N兩點，則|FM|+|FN||FA|=1e(其中e為橢圓的離心率).[LM]性質2 如圖2，雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右(左)焦點為F，在x軸上F的右(左)側有一點A，以FA為直徑作圓C與雙曲線E在x軸上方部分交于M、N兩點，則|FM|+|FN||FA|=1e(其中e為雙曲線的離心率).性質3 如圖3，拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點為F，在x軸上F的右側有一點A，以FA為直徑作圓C與拋物線E在x軸上方部分交于M、N兩點，則|FM|+|FN||FA|=1e(其中e為拋物線的離心率).

顯見，對拋物線而言，e=1，所以本文開頭的試題，就是性質3的一個等價形式.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”