圓錐曲線焦點軸上的一對等積點

問題1 (2006年高考上海卷，理20)在平面直角坐標系xOy中，設直線l與拋物線y2=2x相交于A、B兩點.

(1)求證：“如果直線l過點T(3，0)，那么㎡A?㎡B=3”是真命題；

(2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

解：(1)略.(2)易證得當㎡A?㎡B=3時，直線l過定點T(-1，0)或T(3，0)，故(1)中命題的逆命題為假.

筆者對問題1的(2)問在圓錐曲線中進行了一般性探究，并得到了如下幾個結論.

引理1(文［1］定理3) 已知拋物線y2=2px(p>0)，過定點T(t,0)(t≠0)的動直線與拋物線相交于A，B兩點，則在x軸上存在唯一定點C(0，0)，使〤A?〤B呶常數(shù)t(t-2p).

定理1 已知拋物線y2=2px(p>0)，過定點T1(t1,0)的動直線與拋物線相交于A1，B1兩點，過定點T2(t2,0)的動直線與拋物線相交于A2，B2兩點，其中t1≠t2，且t1,t2≠0.若t1+t2=2p，則在x軸上存在唯一定點C，使〤A1?〤B1=〤A2?〤B2吆慍閃.

證明：由引理1知，只需證t1(t1-2p)=t2?(t2-2p)，而由t1+t2 =2p，即t2=2p-t1知，所需證明的等式成立是顯然的.

引理2(文［1］定理2) 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0,c>0,c2=a2-b2)，過定點T(t,0)(t≠0且t≠±a)的動直線與橢圓相交于A，B兩點.則在x軸上存在唯一定點C(a2+b2)t2+a2c22a2t,0，使〤A?〤B呶常數(shù)(a2-t2)［a2c4-(a2+b2)t2］4a4t2.

定理2 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0,c>0,c2=a2-b2),過定點T1(t1,0)的動直線與橢圓相交于A1，B1兩點，過定點T2(t2,0)的動直線與橢圓相交于A2，B2兩點，其中t1≠t2，且t1,t2≠0.t1,t2≠±a，若t1t2=a2c2a2+b2，則在x軸上存在唯一定點C，使〤A1?〤B1=〤A2?〤B2吆慍閃.

證明：由引理2知，只需證

(a2-t21)［a2c4-(a2+b2)t21］4a4t21=

(a2-t22)［a2c4-(a2+b2)t22］4a4t22.由t1t2=a2c2a2+b2，得t2=a2c2(a2+b2)t1，將此代入所需證明的等式右端，整理后即可得證.

引理3(文［1］定理1) 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0,c>0,c2=a2+b2)，過定點T(t,0)(t≠0且t≠±a)的動直線與雙曲線交于A，B兩點.則在x軸上存在唯一定點C(a2-b2)t2+a2c22a2t,0，使〤A?〤B呶常數(shù)(a2-t2)［a2c4-(a2-b2)t2］4a4t2.

定理3 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0,a≠b，c>0,c2=a2+b2)，過定點T1(t1,0)的動直線與雙曲線相交于A1，B1兩點，過定點T2(t2,0)的動直線與雙曲線相交于A2，B2兩點，其中t1,t2≠0，t1,t2≠±a，且t1≠t2.若t1t2=a2c2a2-b2，則在x軸上存在唯一定點C，使得〤A1?〤B1=〤A2?〤B2吆慍閃.

參考文獻

［1］蘇立志.一道2007年高考題的推廣及應用［J］.數(shù)學通訊，2007第19期.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”