加強幾何課程的教學　提高解空間幾何問題的能力

胡青柏

幾何課程的改革，歷來是我國教材改革的焦點，自從進入新世紀以來，我國加大了中小學幾何課程的改革步伐，采取下移、刪減、增加、滲透等多種措施實施幾何課程的改革.即將一些簡單的幾何概念像正方形、矩形、三角形、平行線等下移到小學，讓學生從小學開始就感受一些幾何知識；刪減了幾何中一些繁難、重復且不影響學生后續(xù)學習的內(nèi)容，如平幾中三角形內(nèi)、外角平分線性質(zhì)、立幾中有關(guān)臺體的內(nèi)容；增加了平面向量和空間向量，成為幾何運算和論證的工具，增加了許多與幾何相關(guān)的生活實例，滲透了幾何變換的思想，并將原本在高一(上)開設(shè)的立體幾何后移到到高二下學期來開設(shè).應該說，通過這樣的改革，學生對幾何學習的水平會有大幅度的提升，解決幾何問題的能力將會增強.但從2006—2008年我省考生在解答立體幾何綜合題中暴露出來的問題，說明我們的考生在幾何的學習方面還存在比較大的差距(滿分12分，06年均分2.9分，08年均分3.2分)，下面就這兩道立幾綜合題的解題 思維進行剖析，探討學生在幾何學習方面存在的問題.

2006年試題：如圖1，在三棱錐A-BCD=中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜 邊，且AD=3,BD=CD=1，另一個側(cè)面是正三角形.(1)求證：AD⊥BC；(2)求二 面角B-AC-D的大小；(3)在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角?若存在，確定E 的位置；若不存在，說明理由.

2008年試題：如圖2，正三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，且長度均為2，E、F分別是AB、AC的中點，H是EF的中點，過EF的一個平面與側(cè)棱OA、OB、OC或其延長線分別相交于A1、B1、C1，已知OA1=32，(1)求證：B1C1⊥平面OAH；(2)求二面角O-A1B1-C1的大小.

表面看，兩道試題都考查了三棱錐內(nèi)線線、線面關(guān)系與二面角的平面角計算，兩者看不上有什么本質(zhì)上聯(lián)系，且考生被前一個圖形過于簡單，輔助線不知如何添設(shè)，而后一個圖形線條太多，理不清頭緒而難于切入求解.這正說明我們的學生空間幾何概念的薄弱.他們看不出圖形和條件之間的依存關(guān)系和相互轉(zhuǎn)換關(guān)系.實際上，只要將圖1，圖2置于兩個正方體內(nèi)，則要求證的線面關(guān)系和二面角的計算則會一清二楚了.請看圖3和圖4.

圖1實為圖3正方體的一部分，要證AD⊥BC，只要連PD，由BC⊥PD，BC⊥AP，即知BC⊥平面APD，∴BC⊥AD.三步就得結(jié)論.要求B-AC-D的平面角，注意到面DAC⊥面PAC，∴只要用90°減去P-AC-B的平面角即可，過B作BH⊥AC于H，連PH.由ABC是等邊三角形，∴H為AC中點，這時PH⊥AC，在△PBH中可求得P-AC-B的平面角θ的余弦值玞osθ=33，令B-AC-D的平面角為α，則α=90°-θ，∴玞osα=玞os(90°-θ)=玸inθ=63，∴所求二面角為玜rccos63.

在正方體內(nèi)，本題的第3問更為簡單，因為AC是正方體側(cè)面的對角線，設(shè)E存在，則過E作EF⊥PC，連FD，則∠EDF=30°，設(shè)EF=FC=x，則DF=EF玹an30°=3x，∴(3x)2-x2=1輝2=12.EC=2EF2=1.即E點存在，它在AC上離C為1處.

可以看出，在上面的解題過程中，許多結(jié)論都直接來自于正方體的關(guān)系，如果考生能夠?qū)D形補成正方體，相信他們都能順利解答該題.對08年的立幾高考題，只要將OA，OB，OC視作正方體過同一頂點O的三條棱，轉(zhuǎn)置后即可構(gòu)作出如圖4的正方體，這時，利用正方體的線面關(guān)系，易知OE=OF,∴OH⊥EF,又AH⊥EF，∴EF⊥面OAH，∵EF∥BC∥B1C1，∴B1C1⊥面OAH.為求二面角O-A1B1-C1的平面角，可用多種方法，∵C1在面OAB上的射影為O，若設(shè)O-A1B1-C1的平面角為θ，則玞osθ=S△OA1B1猄△C1A1B1，由BB1=CC1=1，A1B1=A1C1=325，B1C1=32,h〢1=332，可得S△OA1B1=94，S△A1B1C1=964，∴玞osθ=94964，=66.另外，也可過O作OM⊥A1B1，連C1M，易知C1M⊥A1B1，∴∠OMC1為所求二面角的平面角，OM=OA1?OB1A1B1=355,

∴玹an∠OMC1=OC1OM=3355=5.∴∠OMC1=玜rctan5.

通過正方體的構(gòu)造，凸顯了試題中幾何元素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，使許多結(jié)論成為顯然.通過構(gòu)造正方體，也為用空間向量方法求解這兩道幾何問題奠定了基礎(chǔ)(不會為無法尋找到坐標架而煩惱).考生在這兩道題上得分率如此之低，說明我們的考生缺乏這種幾何補形，圖形整體轉(zhuǎn)置等幾何變換思想.高考給了我們很好的啟示，要加強幾何的銜接教學不僅要注重幾何的演繹推理，還要重點提升學生的幾何運算能力，對幾何圖形的變換、重組、拆分以及靈活地選用各種方法解題的能力，只有這樣，才能提高幾何教學的效率.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”