從‘測(cè)池塘寬度’說(shuō)開(kāi)去

教學(xué)內(nèi)容 魯教版第八冊(cè)(下)第八章證明(三)第四節(jié)中位線定理(第一課時(shí))

教學(xué)設(shè)計(jì)理念 現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教學(xué)，在備課、上課過(guò)程中要一切從學(xué)生出發(fā)，放手讓學(xué)生去探究、去說(shuō)、去做，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手的習(xí)慣；注重培養(yǎng)學(xué)生概括問(wèn)題、歸納問(wèn)題的能力；鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、敢于質(zhì)疑；使學(xué)生在探索爭(zhēng)鳴中學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)傾聽(tīng)、學(xué)會(huì)表達(dá).讓學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)習(xí)，又在學(xué)習(xí)中活動(dòng).

教學(xué)目標(biāo)分析 根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求及學(xué)生實(shí)際，學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要達(dá)到以下三維目標(biāo)：

知識(shí)與技能目標(biāo)：

知道三角形中位線定理的內(nèi)容并能用綜合法予以證明；會(huì)應(yīng)用三角形中位線定理進(jìn)行推理；

過(guò)程與方法：

經(jīng)歷探索、猜想、證明三角形中位線定理的過(guò)程，發(fā)展推理論證能力；經(jīng)歷應(yīng)用三角形中位線定理的過(guò)程，獲得證明線段平行、線段相等的重要方法；

情感態(tài)度價(jià)值觀：

通過(guò)學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生探究意識(shí)、合作精神，增強(qiáng)學(xué)生的自我效能感，體會(huì)邏輯推理的嚴(yán)密性，感受數(shù)學(xué)美.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：三角形中位線定理的推導(dǎo)過(guò)程.

難點(diǎn)：三角形中位線定理的熟練運(yùn)用.

教學(xué)過(guò)程

(一)創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

問(wèn)題1 有一池塘(如圖1)岸邊設(shè)有兩觀測(cè)點(diǎn)A、B，不能直接到達(dá)，現(xiàn)需在它們之間接一電話線，請(qǐng)你設(shè)法測(cè)出A、B之間的距離.

學(xué)生首先根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，然后再分組討論，合作交流，提出如下方法：

生1：如圖2，在池塘旁邊選取一點(diǎn)C，使它均能直接到達(dá)觀測(cè)點(diǎn)A、B，且∠CAB=90°，然后量出AC、BC的距離，利用勾股定理得出：AB=BC²-AC².

生2：如圖3，在池塘旁邊選取一點(diǎn)C，使它均能直接到達(dá)觀測(cè)點(diǎn)A、B，在A、B上各取一點(diǎn)D、E，利用測(cè)角儀，使∠BAC=∠EDC.那么有△DEC∽△ABC，再量出CA、CD、DE的長(zhǎng)，利用DEAB=CDCA可求AB=CDCA·DE.

教師充分肯定學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的成果，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性得到認(rèn)可，受到鼓勵(lì)，從而進(jìn)一步努力探索新知.

教學(xué)策略說(shuō)明 教學(xué)中，教師一方面要盡可能讓學(xué)生找到數(shù)學(xué)概念在生活中的原型；另一方面要?jiǎng)?chuàng)造條件使學(xué)生能夠用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)去解讀日常生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.要讓學(xué)生在情境中學(xué)習(xí)、在情境中掌握，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境也能更好的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和求知欲.

(二)引入新課，合作探究

教師：把生2的設(shè)計(jì)改進(jìn)一下，即：若在AC、BC上取中點(diǎn)D、E，那么只要量出DE的長(zhǎng)就能得到AB的長(zhǎng).(設(shè)置懸念)

教師介紹三角形中位線的概念，并提醒學(xué)生注意三角形的中位線與中線的區(qū)別.

教師：如圖4，△ABC的中位線DE與第三邊AB有什么數(shù)量關(guān)系?你能證明嗎?

學(xué)生思考、猜想DE與AB的數(shù)量關(guān)系；然后，教師組織學(xué)生按學(xué)習(xí)小組進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，教師參與小組討論，傾聽(tīng)學(xué)生分析并作必要引導(dǎo)；學(xué)生利用學(xué)習(xí)小組互相討論交流獲得新知.

教師肯定各小組合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，把小組合作學(xué)習(xí)的成果匯集如下：

小組1：通過(guò)測(cè)量可得：則DE=12AB.

小組2：如圖5，利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連結(jié)BF.可證DE是AB的一半.(證略)

教師：中位線DE與第三邊AB還有什么關(guān)系?

小組3：如圖5，從四邊形DABF是平行四邊形中，還可以看出DE與AB的位置關(guān)系是平行.(證略)

在各小組得到以上幾種不同結(jié)論的基礎(chǔ)上，教師總結(jié)歸納：三角形中位線定理的內(nèi)容.

指出：此定理為解決問(wèn)題1找到更簡(jiǎn)捷解決辦法.

教學(xué)策略說(shuō)明 教師在課堂上按照預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)小組，采用合作探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式，有利于提高學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于思考的學(xué)習(xí)情趣，符合‘以學(xué)生發(fā)展為本’的新課改理念.同時(shí)教師要注意做到分組合理，學(xué)生個(gè)體思考為先，足夠的時(shí)間討論為后，真正發(fā)揮自主探索和合作交流的效能；為了保證每個(gè)個(gè)體思考的時(shí)間與空間，要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后的自主探究與合作交流.

(三)獨(dú)立思考，應(yīng)用新知

問(wèn)題2 求證三角形中一條中位線與第三邊上的中線互相平分.(教材p.93習(xí)題8.8第2題)

教師引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出已知、求證.

已知：如圖6，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn).

求證：AF與DE互相平分.

教師先請(qǐng)同學(xué)上黑板板演，同時(shí)巡視指導(dǎo)，幫助學(xué)困學(xué)生作出輔助線，解答個(gè)別學(xué)生的疑難，然后師生共同評(píng)價(jià)板演同學(xué)的證明過(guò)程.

教師總結(jié)：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.

問(wèn)題3 已知△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn). 若△ABC的周長(zhǎng)為16，面積為40，求△DEF的周長(zhǎng)和面積.

教師先請(qǐng)同學(xué)上黑板板演，同時(shí)巡視，指導(dǎo)學(xué)困學(xué)生的疑難，然后師生共同評(píng)價(jià)板演同學(xué)的解答過(guò)程.

教師總結(jié)：連結(jié)三角形各邊中點(diǎn)組成的三角形與原三角形相似，相似比為1∶2.

教學(xué)策略說(shuō)明 教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)努力營(yíng)造一種民主、平等、和諧的課堂氛圍，要積極鼓勵(lì)學(xué)生參與學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難、發(fā)表不同見(jiàn)解，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)上黑板板演，敢于與老師、同學(xué)爭(zhēng)論，使每位學(xué)生不擔(dān)心自己的意見(jiàn)被批評(píng)，而是被傾聽(tīng)、被補(bǔ)充完善，使學(xué)生得到他人肯定，獲得新知，增強(qiáng)自我效能感.

(四)知識(shí)延伸，拓展探究

圖7問(wèn)題4 如圖7，任意作一個(gè)四邊形，并將其四邊的中點(diǎn)依次連接起來(lái)，得到一個(gè)新的四邊形，這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征?請(qǐng)與同伴交流并證明你們的結(jié)論.(教材p.93做一做)

教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖、猜想(四邊形EFGH是否為平行四邊形)、測(cè)量驗(yàn)證(兩組對(duì)邊是否分別相等)、添加輔助線(連接一條對(duì)角線)、證明(一組對(duì)邊平行且相等)、交流討論.

生3：四邊形EFGH是平行四邊形.

理由：連結(jié)AC，

在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，所以EF平行且等于12AC，在△DAC中，H、G分別是AD、DC的中點(diǎn)，所以HG平行且等于12AC，所以四邊形EFGH是平行四邊形.

教師歸納：這位同學(xué)把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題解決，這是一種很重要的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，同學(xué)們應(yīng)該掌握.

教師進(jìn)一步提出問(wèn)題：當(dāng)AC=BD時(shí)，中點(diǎn)四邊形EFGH有什么特點(diǎn)呢?

生4：此時(shí)EF=12AC，EH=12BD，所以EF=EH，所以平行四邊形EFGH是菱形.

教師：當(dāng)原四邊形對(duì)角線滿(mǎn)足什么條件時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形、正方形呢?

生5：當(dāng)原四邊形對(duì)角線互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形.

生6：當(dāng)原四邊形對(duì)角線相等且互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形.

教師總結(jié)：中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形對(duì)角線有關(guān).

教學(xué)策略說(shuō)明 教師在課堂上要盡可能給學(xué)生多一點(diǎn)表現(xiàn)自己的機(jī)會(huì)，多一點(diǎn)體驗(yàn)成功的愉快，充分讓學(xué)生表達(dá)自己的觀點(diǎn)，當(dāng)課堂上學(xué)生的解題出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師不要急于作出評(píng)價(jià)，而是充分暴露學(xué)生的錯(cuò)誤思維過(guò)程，要巧妙的利用學(xué)生的錯(cuò)誤答案，引導(dǎo)他們進(jìn)行驗(yàn)證，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

(五)師生小結(jié)，知識(shí)內(nèi)化

學(xué)生談本節(jié)課的收獲，教師傾聽(tīng)并予以補(bǔ)充.

教學(xué)策略說(shuō)明 學(xué)生及時(shí)回顧本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，在原知識(shí)結(jié)構(gòu)上構(gòu)建新知識(shí)，形成體系.

(六)分層作業(yè)，鞏固提高

1.必做題：寫(xiě)出三角形中位線定理的內(nèi)容；p.93隨堂練習(xí)12.

2.選做題：p.93習(xí)題8.8：1或3.

教學(xué)策略說(shuō)明 分層布置作業(yè)，讓全體學(xué)生在本節(jié)課中都有收獲.

(七)課后反思，教有所得

本節(jié)課圍繞三角形的中位線進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，通過(guò)了解三角形中位線的概念，探究得出三角形中位線性質(zhì)定理，進(jìn)一步拓展出中點(diǎn)四邊形的特性.在這節(jié)課中，教師組織學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)；實(shí)施了課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，這既符合初三學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，也有利于培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)參與、勤于思考、樂(lè)于探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣.教學(xué)中學(xué)生通過(guò)探究新知識(shí)的形成過(guò)程，享受研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，因此課堂氣氛活躍，師生交流融洽，能取得較好的教學(xué)效果.

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明：

1.為了便于學(xué)生接受，設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了部分調(diào)整.教學(xué)過(guò)程采用探究式教學(xué)法，利用“創(chuàng)設(shè)情景——合作探究——知識(shí)運(yùn)用——拓展延伸”的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué).

2.學(xué)生以合作探究學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行學(xué)習(xí).在教學(xué)中采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流學(xué)習(xí)等學(xué)習(xí)方法.利用學(xué)案引導(dǎo)學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值，獲得成功、受到激勵(lì).

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”