一組對邊相等、一組對角相等的四邊形一定是平行四邊形嗎

在初中平面幾何的學習中，我們知道“兩組對邊分別相等，或者兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”. 類似的，我們經常也會碰到這樣一道判斷題：“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形嗎”? 我們知道，這是一道假命題. 為什么呢?通過研究發現，這樣的四邊形不一定是平行四邊形. 試討論如下.

具體地，該命題可轉化為以下這樣一個問題：

已知：線段a，角α.

求作四邊形，使該四邊形滿足一組對邊相等為a，一組對角相等為α的條件.

我們再以具體的圖形實例來研究：

如圖1，令線段BA=a，∠OBA=α，取線段OB(可變)為適當長，設OB=b. 在平面內構造四邊形OPAB，使該四邊形滿足OP=a，∠OPA=α.

分析 1.要構造四邊形OPAB，現在已經知道O、A、B三個頂點，只要求作另外一個頂點P的位置即可.

2.在平面內，要滿足四邊形對角、對邊分別相等，所以，P點和B點一定位于直線OA的兩側，且P點不能在BO或BA直線上(否則，O、P、A、B四點組成的圖形是三角形).

3.根據平行四邊形的性質：平行四邊形的對角、對邊分別相等. 所以，如果在OA的另一側找到一點P0，作出平行四邊形OP0AB，則該四邊形一定滿足條件. 只要過O點作直線L1、過A點作直線L2分別平行于直線BA和BO，直線L1 、L2的相交點即為 P0點.

現在的問題是：是否還存在另外的點(設為Pn，可能有n個)，構成的四邊形OPnAB，也滿足OPn=BA= a，∠OPnA=∠OBA=α呢?當然，Pn點和P0點一定要位于直線OA的同一側，且Pn點也不能在BO、AB直線上.

4.以平行四邊形OP0AB為參照圖形. 若存在另外的點Pn構成的四邊形OPnAB滿足以上條件，則可得以下結論：①因為OPn= OP0=a，所以點Pn一定在以O為圓心，a為半徑的⊙O上. ②因為∠OPnA=∠OP0A=α，且Pn點和P0點在直線OA的同一側，根據四點共圓的判定性質，推知：點Pn 一定在過O、P0、A三點的⊙On(設該圓為⊙On)上.

作法 1.順次作出平行四邊形OP0AB；

2.以O為圓心，OP0為半徑作出⊙O；

3.過O、P0、A三點作⊙On，⊙On交⊙O于點P0和Pn(假設有兩個交點——不包括A點，且Pn點不在BO或BA直線上).

則：構成的四邊形OP0AB和OPnAB為所求作的四邊形(圖2所示).

證明 略.

由以上可知：Pn點和P0點既在⊙On上，又在⊙O 上. 因為，兩個不同的圓相交，其交點最多只有兩個，所以滿足條件的四邊形最多也只有兩個.

根據圖形可知，在這樣的兩個四邊形中，顯然，四邊形OP0AB是平行四邊形. 而四邊形OPnAB雖然滿足一組對邊相等為a、一組對角相等為α的條件，很明顯，它不是平行四邊形. 所以，“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是一道假命題.

若OB再取適當長時(b的取值與a、α之間有關系)，一定有只能作出一種四邊形的情況，且該四邊形一定為平行四邊形，因此，在特定的條件下，該命題可成立.

那么，兩圓相交，在什么特定情況下，該命題可成立呢?通過作法討論可知：此時，兩圓相交的交點其中一點固定為P0點，另一點必須在特殊位置上，即在BO直線上，或在BA直線上(這兩種情況，O、Pn、A、B四點組成的圖形不是四邊形而是等腰三角形)，或另一點就是A點，或兩圓相內切于點P0. 證明略.

請有興趣的同學自己作作看，并思考b應滿足什么特定的條件(即b與a、α之間的關系，此時，另一點Pn的特殊位置滿足以上四種情況之一)?這種四邊形一定是平行四邊形?

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