生活中的數(shù)學(xué)趣題

趣題：一個(gè)富翁，臨終前將他的3個(gè)兒子叫到床前，說(shuō)：“我有一批財(cái)寶藏在地中海的西西里島東端的一個(gè)不起眼的荒島上，這是我留給你們兄弟3人的財(cái)產(chǎn). 島上有兩棵橡樹(shù)和一個(gè)木制絞架. 你們先找到絞架，然后向左邊一棵橡樹(shù)走去，當(dāng)你走到橡樹(shù)以后，就向左轉(zhuǎn)90°，再走由絞架到左邊橡樹(shù)同樣的步數(shù)，得到第一個(gè)點(diǎn)，做上記號(hào)，你們?cè)倩氐浇g架，接著向右邊那一棵橡樹(shù)走去，當(dāng)你走到右邊那棵橡樹(shù)以后，就向左轉(zhuǎn)90°，也走由絞架到右邊橡樹(shù)同樣的步數(shù)，得到第二個(gè)點(diǎn). 我留給你們的財(cái)寶就埋在連接第一、二兩點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn).”說(shuō)完，老人就斷氣了.

3個(gè)兒子埋葬了自己的父親以后，決定一齊到海島上去挖掘?qū)毑?

當(dāng)他們來(lái)到島上的時(shí)候，情況發(fā)生了變化：兩棵橡樹(shù)還在，長(zhǎng)得根深葉茂，但是，由于年代久遠(yuǎn)，風(fēng)吹雨打，日曬夜露，絞架已經(jīng)腐爛，消失得無(wú)影無(wú)蹤了. 3兄弟傻了眼，開(kāi)始在荒島上漫無(wú)邊際地挖掘，結(jié)果，一無(wú)所獲.

以后怎么樣?這并不重要. 有人說(shuō)，他們成了海盜，搶劫過(guò)往船只；有人說(shuō)，他們?cè)诜闪说耐恋厣戏N上了莊稼，收了好多好多小麥；有人說(shuō)，他們?nèi)ハ蛴忻膶W(xué)者求教，幫忙找到了寶藏.

富翁臨前是不會(huì)戲弄兒子的. 寶藏埋在什么地方呢?你能幫他們找到嗎?

分析 有的讀者可能還不明白富翁臨終前的一段話(huà)的意思，請(qǐng)你結(jié)合圖1再讀一讀富翁的臨終遺言，大概就清楚了.

現(xiàn)在，絞架無(wú)影無(wú)蹤了，尋找寶藏的工作陷入困境.

我們不妨設(shè)幾個(gè)特殊點(diǎn)為當(dāng)年立絞架的地方，看看能否受到一些啟發(fā).為了敘述方便，我們令左、右橡樹(shù)所在點(diǎn)分別為A、B，絞架所在點(diǎn)為C，第一點(diǎn)為D，第二點(diǎn)為E，線(xiàn)段DE的中點(diǎn)為M.

按下圖所示三種方法取點(diǎn)C：(1)取線(xiàn)段AB中點(diǎn)為C(圖2)；(2)取A點(diǎn)為C(圖3)；(3)取B點(diǎn)為C(圖4). 分別按富翁的遺言所述的意思作圖. 我們發(fā)現(xiàn)，3種情形得到的點(diǎn)M竟然是同一點(diǎn)：恰好是以線(xiàn)段AB為斜邊的等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)處. 如果你另外再取一點(diǎn)C作圖，得到的線(xiàn)段DE的中點(diǎn)也將是這一點(diǎn)，這便進(jìn)一步支持了你的猜想：寶藏埋在以?xún)煽孟駱?shù)連線(xiàn)段為斜邊的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，這樣，問(wèn)題的解決就變成了證明以下一個(gè)平面幾何問(wèn)題：

A、B為平面上兩定點(diǎn)，C是平面上任意一點(diǎn)，若∠CAD=∠CBE=90°，CA=AD，CB=BE. 求證：線(xiàn)段DE的中點(diǎn)為定點(diǎn).

本題完整解法和證明，留給希望得到這批財(cái)寶的讀者自己完成.

作者簡(jiǎn)介：于志洪，男，1947年5月出生，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師. 江蘇省化工職教協(xié)會(huì)理事，江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)會(huì)員，江蘇省泰州市職工教育研究會(huì)常務(wù)理事、秘書(shū)長(zhǎng).已在《太平洋數(shù)學(xué)雜志》(美國(guó))和《數(shù)學(xué)教育》(香港)、《學(xué)校數(shù)學(xué)通訊》、《澳門(mén)教育》(澳門(mén))、《數(shù)學(xué)通報(bào)》等雜志上發(fā)表了數(shù)學(xué)論文和專(zhuān)題文章4600多篇，900多萬(wàn)字，其中在美國(guó)發(fā)表的《極坐標(biāo)法證朗古來(lái)定理及其推廣》被國(guó)際學(xué)術(shù)界公認(rèn)的權(quán)威檢索刊物SCI收載.

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