圖形變換在解題中的應(yīng)用

在一個(gè)平面內(nèi)，將一個(gè)圖形經(jīng)過某種確定的方法轉(zhuǎn)換成另一圖形，稱為圖形變換. 常見的圖形變換有平移變換、軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換和相似變換. 在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，圖形變換是空間與圖形的一個(gè)重要內(nèi)容，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和實(shí)驗(yàn)操作，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力. 在某些幾何問題中，條件比較分散，不容易把握各元素的關(guān)系，如果以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看待問題，通過圖形變換，使圖形動(dòng)起來，讓圖形更容易“操作”，在圖形的變化中把握不變的幾何關(guān)系，問題就會(huì)很快得到解決.

1 平移變換

把一個(gè)圖形從某一點(diǎn)沿著一定的方向移到另一點(diǎn)，圖形的這種移動(dòng)，稱平移. 平移前后的兩個(gè)圖形全等、各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的線段平行(共線)且相等.

例1 如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，交點(diǎn)為O，且AC=8cm，BD=6cm，求梯形的高.

2 軸對(duì)稱變換

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，得到它的軸對(duì)稱圖形叫軸對(duì)稱變換. 軸對(duì)稱變換前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分.

例4 如圖5，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，求圖中陰影部分的面積.

解析 觀察發(fā)現(xiàn)，BD、DE、EC三條線段中最長(zhǎng)的線段為DE，要證以BD、DE、EC為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形，可證BD²+EC² =DE²，先通過圖形變換的方法，把這三邊搬到一個(gè)三角形中.

3 旋轉(zhuǎn)變換

在平面內(nèi)把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)變換. 在旋轉(zhuǎn)變換下，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

例6 如圖8，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E為AB中點(diǎn)，DE⊥CE. 求證：AD+BC=DC.

解析 題中的三條線段分散，且沒有具體的長(zhǎng)度. 由于 E為AB中點(diǎn)，AD∥BC，AB⊥BC，所以將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°至△BFE處，有F、B、C三點(diǎn)共線，DE=EF，AD=BE，又知DE⊥CE，于是CD=CF， 從而得到AD+BC=DC.

圖8圖9例7 如圖9，已知1×2的矩形ABCD，以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑作AE，再以AB的中點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)B為半徑作BE，求陰影部分的面積.

解析 AE和BE都是半徑為1，圓心角為90°的圓弧，所以AE=BE. 把曲邊△BCE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，曲邊△BCE和扇形ADE正好能組成一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形. 于是，S陰影 =2×1-1×1=1.

例8 如圖10，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，E為AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AG⊥BE，垂足為G，AG交BD于點(diǎn)F.

(1)求證：OE=OF；

(2)如圖11，若點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上，AM⊥BE于點(diǎn)M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎?如果成立，請(qǐng)給予出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.

圖10圖11解析 (1)中的OE=OF可以用三角形全等來證明，但利用旋轉(zhuǎn)變換證明比較簡(jiǎn)便.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD，OA=OB，又因?yàn)锳M⊥BE，所以以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，把△AOF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°必與△BOE重合，所以O(shè)E=OF . 顯然，(2)中的OE與OF也是相等的. 證明與(1)相同.

4 相似變換

把一個(gè)圖形按一定比例放大或縮小為另一個(gè)圖形，這樣的圖形變換叫做相似變換. 相似的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊的比相等.

圖12例9 如圖12，在△ABC中，AD是中線，AB=6，AC=4，求AD的取值范圍.

解析 AD與AB、AC關(guān)系分散，不好確定AD的取值，把AC、AB縮小或者把AD放大，再把這三條線段轉(zhuǎn)換到一個(gè)三角形中來，問題就容易得多. 過點(diǎn)D作DE∥AC，交AB點(diǎn)E，則△BDE∽△BCA，有DE=12 AC=4，AE=12 AB=3. 因此，AD的取值范圍是1

利用圖形變換，為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)可以實(shí)驗(yàn)“操作”的學(xué)習(xí)環(huán)境，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、思維能力和靈活解題的能力.

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