建構幾何模型，巧妙進行探究

新課標中將培養學生的“邏輯思維能力”改為“思維能力”，是要求我們在注重邏輯思維能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想象力等具有跳躍性非邏輯思維能力的培養.中考數學突出對直覺力考查，不僅是因為數學直覺力是數形結合思想的基礎，還是學生思維能力的整體發展的客觀需求，更是新時期社會發展對人才的急切要求.下面結合鹽城中考試卷說明.

試題：(2008鹽城第28題)如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連結AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF.

解答下列問題：

(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，

①當點D在線段BC上時(與點B不重合)，如圖2，線段CF，BD之間的位置關系為_______，數量關系為_______.

②當點D在線段BC的延長線時，如圖3，①中的結論是否仍然成立，為什么?

(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動.

試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC(點C，F重合除外)?畫出相應圖形，并說明理由.(畫圖不寫作法)

(3)若AC=42，BC=3，在(2)的條件下，設正方形ADEF的邊與DE線段CF相交于點P，求線CP段長的最大值.

命題思想

(1)融一些基本的、重要的知識于探索型問題中，第(1)問建立一個特殊的幾何模型，給學生提供一個思維平臺；

(2)結合探索性問題對數學思想進行考查：旋轉思想、轉化思想、建模思想，方程思想、分類思想.函數思想；

(3)與圖形結合綜合考查運用數學知識解決問題的應用能力.

試題解析

解答：(1)①垂直，相等；

②仍然成立.

因為BA=BC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，所以△BAD≌△CAF，

所以AD=CF，∠ACF=∠ABC=45°，∠FCB=∠ACB+∠ACF=90°.

(2)當△ABC滿足條件∠ACB=45°時，CF⊥BC(點C，F重合除外)

因為∠BAC≠90°，所以分∠BAC>90°和∠BAC<90°.

解法1 ①當∠BAC>90°時(如圖4)，過點A作MA⊥AC交BC于點M，因為∠MAC=∠DAF=90°，所以∠MAD=∠CAF. 因為∠ACM+∠AMD=∠ACM+∠ACF=90°，所以∠AMD=∠ACF.

又因為AD=AF，所以△AMD≌△ACF(AAS)，所以AM=AC.

又因為∠MAC=90°，所以∠ACB=45°.

②當∠BAC<90°時(如圖5)，過點A作MA⊥AC交CB延長線于點M.

因為∠MAC=∠DAF=90°，所以∠MAD=∠CAF. 因為∠ACM+∠AMD=∠ACM+∠ACF=90°，所以∠AMD=∠ACF.

又因為AD=AF，所以△AMD≌△ACF(AAS)，所以AM=AC.

又因為∠MAC=90°，所以∠ACB=45°.

點評 此解法的方法是借助圖1中的“直角三角形”這一幾何模型，通過輔助線起到“化不規則圖形為規則圖形”的作用.其實質是將△ACF繞點A旋轉至△AMD處.

解法2 ①當∠BAC>90°時(如圖6)，連結AE，因為∠FCD=∠E=90°，所以點A、D、E、F四點共圓，則∠ACD=∠AED=45°，即∠ACB=45°.

②當∠BAC<90°時(如圖7)，連結DF，因為∠DAF+∠DCE=180°，所以點A、D、C、F四點共圓，則∠ACD=∠AED=45°，即∠ACB=45°.

點評 此法構造輔助圓，運用分析法，比上更簡潔.

(3)過點A作AN⊥BC交直線BC于點N，

因為∠ACB=45°，AC=42，所以AN=NC=4.又因為BC=3，所以△ABC是鈍角三角形(如圖8)，設CP=y，CD=x，則ND=NC-DC=4-x.

因為∠ADE=90°，所以Rt△AND∽Rt△DCP，所以ANND=DCCP，即44-x=xy.

試題賞析 從中考閱卷情況看，第(1)小題多數考生可得2分，第(2)小題問題較多. 今年是鹽城進入課改后的第二次中考，一些考生因缺乏新課程提倡的“問題情景——建立模型——求解——解釋——應用”的思想和圖形轉換意識不強，發現不了本質問題，也有相當部分考生因幾何思想方法能力不強，無法作出恰當的輔助線證明.由此，對我們的數學教學、新課程改革引發出深層的思考和啟示.

1.正確的解題思路源于基礎知識、基本技能和數學思想方法的熟練掌握.

實事求是地說，本題難度并不大，第(1)問通過操作積累，已經為學生提供了一個思維平臺——以構建“直角三角形和正方形的幾何模型”為載體結合“圖形的運動變化”.并由此提供了解決問題的知識(全等法)

第(2)問只是在問題情景的基礎上設置了一個臺階，把握住試題的核心，此題既可以通過構建直角三角形幾何模型，實際問題數學化，數學問題形象化；又可以通過旋轉思想，將△ACF繞點A順時針旋轉至△ADM處使得問題求解.此實質就是作輔助線的兩種不同的分析方法.體現了不同數學方法之間的相似性.

第(2)問還考查了學生閱讀信息，尋求解題方法的方法，在解題中學生要能把握命題者所提供的隱含思想，題中條件“∠BAC≠90°”實際上提示學生要分∠BAC>90°和∠BAC<90°兩種情況進行探究；

第(2)問的思維層次有兩個，一是學生在繪圖的基礎上直接添加條件∠ACB=45°，然后利用該條件進行CF⊥BC的證明(這是命題者提供的答案)；但筆者認為這僅僅是必要條件，而不是充要條件，此題應該是在CF⊥BC的基礎上探究∠ACB應具備的條件，這是思維的較高層次.

2.試題高超的數形結合思想和良好的思維策略.

“數”和“形”是數學教學中既有區別又有聯系的兩個對象，在數學教學中，突出數形結合思想，有利于學生從不同的側面加深對問題的認識和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力，同時從對數學的基本認識方面看，在幾何圖形中，由于運動而導致圖形的形狀發生了特征上的變化，從而導致數量關系的變化，而這種數量關系恰好就是問題所以研究討論的.在第(3)問中求線段CP極值的過程就體現了這一數學思想.

該問同時較好地考查了學生的思維策略：首先恰當地選用圖形解決問題(見圖8)；其次要觀察圖形，對復雜圖形要善于分解，弄清楚不同的構成要素(Rt△AND∽Rt△DCP)；最后要大膽猜想(點D運動，則CD是個變量，設CP=x.)嚴謹論證，尋求最佳的解題途徑(建立關于CP的函數解析式，用函數思想解決問題)，啟發我們在今后得教學中要注重數形結合思想的教學，數量問題有時借助于圖形可以很直觀地解決，反之，圖形問題有時轉化為數量問題可以很方便的解答.

3.著力培養學生的創新意識，尋求最佳解題途徑.

數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，蘊涵在數學知識的發生、發展和應用的過程中，能夠遷移并廣泛應用于相關學科和社會生活中.另一方面，在數學學習和研究過程中，知識的遷移、組合、融匯的程度越高，展示能力的區域就越寬泛，顯現出的創造意識也就越強.本試題對學生的創新意識提出了一定的要求. 讓學生在模仿中透著創新. 本題解法靈活、創新意識強，(如解法2中構造輔助圓，應用五點共圓知識解決問題)要選擇其中較為簡便的方法與考生的創新意識密切相關.這就啟發我們在平時的教學中，要大力發展學生的求異思維、發散思維、逆向思維等多角度、全方位考慮問題.

4.重視對課本習題、試題的拓展與挖掘.

近兩年鹽城中考試題源自教材的習題或例題比較常見. 教材習題例題的熟練掌握，對答好這類試題至關重要. 我們不提倡應試教育下的猜題和押題，但這類命題有極大的典型性和代表性，要注意充分地引申，挖掘其蘊含的深層潛力，一題多解、一題多變、融會貫通，這樣才能得心應手.

探究1 當點在線段延長線上時，其它條件不變，問題(2)結論仍成立圖形見圖9、10具體證明同上.

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