基于ＡＲＩＭＡ模型下的時(shí)間序列分析與預(yù)測

摘要：大多數(shù)的時(shí)間序列存在著慣性，或者說具有遲緩性。通過對這種慣性的分析，可以由時(shí)間序列的當(dāng)前值對其未來值進(jìn)行估計(jì)。本文以1949年到2004年江蘇省社會(huì)消費(fèi)品零售總額數(shù)據(jù)為研究對象，將這些數(shù)據(jù)平穩(wěn)化并做分析，發(fā)現(xiàn)ARIMA(1，1，2)模型能比較好的對江蘇省社會(huì)消費(fèi)品零售總額進(jìn)行市時(shí)間序列分析和預(yù)測，。

關(guān)鍵詞：ARIMA；江蘇省消費(fèi)品零售總額；時(shí)間序列分析

一、引言

江蘇省是一個(gè)經(jīng)濟(jì)大省，經(jīng)濟(jì)一直保持平穩(wěn)較快增長，城鄉(xiāng)居民收入都位于全國前茅，消費(fèi)品需求旺盛，人們生活水平比較高。其中社會(huì)消費(fèi)品零售總額是反映人民生活水平提高的一個(gè)很好的指標(biāo)。所以對社會(huì)消費(fèi)品零售總額做分析就比較重要。但是影響社會(huì)消費(fèi)品零售總額的因素有很多，包括收入、住房、醫(yī)療、教育以及人們的預(yù)期等很多因素，而且這些因素之間又保持著錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系。因此運(yùn)用數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型來分析和預(yù)測較為困難。所以本文采用ARIMA模型對江蘇省的社會(huì)消費(fèi)品零售總額進(jìn)行分析，得出其規(guī)律性，并預(yù)測其未來值。

二、ARIMA模型的說明和構(gòu)建

ARIMA模型又稱為博克斯-詹金斯模型。ARIMA模型是由三個(gè)過程組成：自回歸過程(AR(p))；單整(I(d))；移動(dòng)平均過程(MA(q))。AR(p)即自回歸過程，是指一個(gè)過程的當(dāng)前值是過去值的線性函數(shù)。如：如果當(dāng)前觀測值僅與上期(滯后一期)的觀測值有顯著的線性函數(shù)關(guān)系，則我們就說這是一階自回歸過程，記作AR(1)。推廣之，如果當(dāng)前值與滯后p期的觀測值都有線性關(guān)系則稱p階自回歸過程，記作AR(p)。MA(q)，即移動(dòng)平均過程，是指模型值可以表示為過去殘差項(xiàng)(即過去的模型擬合值與過去觀測值的差)的線性函數(shù)。如：MA(1)過程，說明時(shí)間序列受到滯后一期殘差項(xiàng)的影響。推廣之，MA(q)是指時(shí)間序列受到滯后q期殘差項(xiàng)的影響。單整，是指將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列所要進(jìn)行差分的次數(shù)。意義在于使非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，實(shí)現(xiàn)短期的均衡。

三、數(shù)據(jù)來源及數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化

本文采用的數(shù)據(jù)是江蘇省1949年到2004年的社會(huì)消費(fèi)品零售總額，數(shù)據(jù)來源于江蘇省的統(tǒng)計(jì)匯編《江蘇五十年》。數(shù)據(jù)如下：

我們定義江蘇省社會(huì)消費(fèi)品總額序列為Y。首先我們用EVIEWS軟件對上述數(shù)據(jù)做了線性圖，圖形如圖1所示：

圖1

圖2

從圖1可以看出江蘇省社會(huì)消費(fèi)品零售總額呈指數(shù)變化趨勢，特別是從1985年之后，增長趨勢強(qiáng)勁。所以本文通過取對數(shù)來將指數(shù)趨勢轉(zhuǎn)化為線性趨勢。并將生成的新序列定義為LY，其線性圖如圖2所示。本文下面的分析都將采用LY進(jìn)行分析。

首先對LY進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，主要采用的是單位根檢驗(yàn)法。檢驗(yàn)結(jié)果如下所示：

可以明顯的看出序列LY是非平穩(wěn)的，所以對LY做一階差分，生成的新序列定義為LY1。對LY1進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如下：

LY1通過了ADF檢驗(yàn)，所以認(rèn)為經(jīng)過一階差分生成的新序列LY1是平穩(wěn)的。

四、模型的識別和建立

接下來我們確定是用AR(p)模型還是用MA(q)模型，或者是用AEMA(p，q)模型對平穩(wěn)的時(shí)間序列LY1進(jìn)行估計(jì)。首先做序列LY1的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖，圖形如下圖所示。

從圖中可以看出自相關(guān)圖在K=2之后都在隨機(jī)區(qū)間內(nèi)，從偏自相關(guān)圖可以看出K=1之后都在隨機(jī)區(qū)間內(nèi)。我們采用李子奈和潘文清編著的《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》上所講述的識別規(guī)則來對模型識別。即如果LY1t的偏自相關(guān)函數(shù)在p以后截尾則此序列是自回歸AR(p)序列，如果LY1t的自相關(guān)函數(shù)在q以后截尾，則此序列是移動(dòng)平均MA(q)序列。所以考慮建立模型ARMA(1，2)。用EVIEWS軟件建立模型ARMA(1，2)并對參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到結(jié)果如下圖所示。

所以得到的結(jié)果是：LY1_t=0.9513*LY1_t-1+0.4346*U_t-1+0.1636*U_t-2+e_t，其中LY1_t=d(log(Y_t))。

五、模型的檢驗(yàn)

現(xiàn)在對求得的模型的參差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)。如果參差序列不是白噪聲序列，則需要對模型做進(jìn)一步的改進(jìn)，如果是白噪聲過程則接收估計(jì)得到的模型。檢驗(yàn)結(jié)果如下圖所示：

可以認(rèn)為參差是一個(gè)白噪聲過程，所以接受該模型。

六、利用求得的模型進(jìn)行預(yù)測

最終確定的是ARIMA(1，1，2)模型，現(xiàn)在用該模型來做預(yù)測。預(yù)測結(jié)果如下：

應(yīng)該可以看出預(yù)測比較好的反映了增長的趨勢，只是在預(yù)測數(shù)據(jù)上也許與現(xiàn)實(shí)值會(huì)有一些差距，但差距是難免的。預(yù)測結(jié)果是通

過軟件來生成的，從軟件的預(yù)測圖就可以看出越往后面預(yù)測區(qū)間越寬，即預(yù)測的年份越長誤差越大。但是近一兩年的數(shù)據(jù)在不發(fā)生特別變化的情況下是可以參考的。

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(作者單位：中國人民銀行景德鎮(zhèn)市中心支行)