用“一一列舉”法解決問題要講究策略

蘇教版國標教材小學數學第九冊第六單元教學內容是用“一一列舉”的策略解決一些簡單的實際問題。教材一共安排了三道例題，旨在通過例題的教學，引導學生逐步體會“一一列舉”的策略意義，掌握運用這一策略解決問題的基本思考過程和方法。隨后的練習一共安排了九道習題和一道思考題，這些練習題雖然都可以運用“一一列舉”的策略來解決，但問題本身卻涉及不同的知識領域。解決這些問題，不僅能進一步豐富學生運用策略的體驗，而且可以幫助學生逐步增強靈活選用策略解決問題的自覺性，提高運用策略的水平。

一、解決問題前進行必要的鋪墊

習題：有紅、黃、藍三種顏色的小旗各一面，從中選用1面或2面升上旗桿，分別用來表示一種信號。一共可以表示多少種不同的信號?

由于學生對信號旗缺少感性認識，認為和例題中訂閱雜志是一回事，所以在用“一一列舉”法時就會出現可以表示6種不同信號的答案，因為學生不知道旗升上旗桿是要分上下的，如上紅下黃與上黃下紅就表示不同的信號。而訂閱雜志是不分前后的，如訂《科學世界》和《數學樂園》，誰在前后都一樣。這就不難理解，為什么同為江蘇教育出版社出版的《教師教學用書》和《小學備課手冊》上答案不一致的原因了。學生如果在這個環節上出差錯，難道不情有可原嗎?所以，在完成這道習題前，教師不管是有意識還是無意識，都要對學生進行必要的信號旗知識補充。這樣，學生在用“一一列舉”法解決此題時，才能水到渠成。

習題：有1克、2克、4克的砝碼各一個，選其中的一個或幾個，能在天平上直接稱出多少種不同質量的物體?

用天平稱物體對成人而言可謂小菜一碟，但對于小學生來說，可能還不太容易。特別是在有些時候，砝碼可以放在天平的兩邊。如：有1克、3克、9克的砝碼各1個，任意選擇其中一個或幾個，能在天平上稱出多少種不同質量的物體?這里，1克、2克、3克、4克、5克、6克、7克、8克、9克、10克、11克、12克、13克的物體質量都可以稱出來。如果不在解決問題前進行必要的鋪墊，學生難免會在思考時思維受阻。看來，有些問題雖然都可以運用“一一列舉”的策略來解決，但當問題本身涉及不同的知識領域時，在解決問題前把不同的知識背景作必要的鋪墊是十分必要的。

二、解決問題中進行優劣的比較

習題：一種圓珠筆有3支裝和5支裝兩種不同規格的包裝。張老師要購買38支圓珠筆，可以分別購買3支裝和5支裝的各幾盒？一共有幾種不同的選擇方法?

學生可以從買1盒3支裝的圓珠筆想起，然后通過列表呈現出來。

比較上面兩種想法，不難發現：上表要心算到12，下表只要心算到8，盡管兩種思路相同，但下面的思路心算過程更為簡捷。如果熟練以后，省略沒有必要出現的步驟，改為下表就能一目了然。

只有在解決問題中進行比較，適當取舍，學生才能快速地找到解決問題的最佳策略。

習題：用48個1平方厘米的正方形拼成長方形，有多少種不同的拼法?它們的周長各是多少?拼一拼，算出結果填在表中。

如果沒有在“一一列舉”時進行優劣的比較，學生在解決這個問題時就會耗時過多。實際不妨這樣想：先想寬，再填長，最后算周長，解題顯得更容易。

三、解決問題后進行適度的提升

習題：小寧從家到少年宮，如果只是向東、向北走，一共有多少種不同的路線可走?

學生用“一一列舉”畫圖的方法，能找出有6種不同的路線可走。但教師不僅僅是教教材，而是要用教材教會方法，讓學生能舉一反三、觸類旁通。如果少年宮在小寧家右上方再遠些(如下圖)，學生還能用“一一列舉”畫圖的方法很快找出有多少種不同的路線可走嗎?又再遠些呢？如果每次都是一條一條地畫，不勝其煩，而且很容易出錯。看來，用“一一列舉”法解決問題后，歸納方法就顯得尤為重要。

那它的奧妙究竟在何處呢?學生運用前面剛學過的找規律就可以發現，有多少種不同的路線可走和向東、向北走的交叉點之間是有關聯的，走到任何一個交叉點有多少種不同的路線等于走到這個交叉點左邊與下邊交叉點的路線之和(如下圖所示)，采用這樣的方法很容易得出各點的走法。學生只有在用“一一列舉”法解決簡單的問題后又能找出規律和歸納出方法，才能真正提高運用策略解決問題的能力。

習題：如右圖，橫向或豎向每相鄰兩個釘之間的距離是1厘米。用橡皮筋在這9個釘上圍出面積是1平方厘米的三角形，一共可以圍出多少個?

學生用“一一列舉”法解決此題時，很難做到不重復、不遺漏。和前面一題一樣，問題簡單時一一列舉還行，稍一復雜就難以得出正確的答案。那么，可以分類進行思考：從角的角度看，直角邊分別為1厘米和2厘米的直角三角形有16個；底是2厘米，高是1厘米的等腰三角形有8個；底是1厘米，高是2厘米的鈍角三角形有8個，這樣符合要求的三角形一共有32個。當然，還可以根據符合要求的三角形底所在的行或列來依次考慮，也能順利地圍出32個三角形。

數學源于生活，用于生活，《數學課程標準》中也非常強調數學與現實生活的聯系。因此，筆者認為在用“一一列舉”法解決實際問題時要講究策略，即進行必要的知識鋪墊、方法優劣的比較和適度的策略提升。這樣，可以使習題的教學意義超越解答一道題目得到一組答案，體會到一種思想方法，使學生的無序思維有序化、簡捷化、規范化、科學化。