抓住關鍵解“牛吃草問題”

《小學教學參考》(數學版)2008年第4期發表了張維寧和劉榮兩位老師題為《巧用“分數思路”解“牛頓問題”》的文章，拜讀之后受益匪淺。文中選用的四道例題很有代表性，特別是第四例，關乎人類的生存問題。兩位老師能用算術方法解決“牛吃草問題”(把這類問題稱為“牛吃草問題”比“牛頓問題”要妥當些，它是牛頓提出來的問題，牛頓本身應該沒有什么問題)，可見其數學功底之扎實。但筆者認為，小學生很難理解。現以《巧用“分數思路”解“牛頓問題”》文中的四道例題為例，介紹一種學生很容易接受的解“牛吃草問題”的方法——簡易方程。僅供大家參考，敬請賜教。

例1 一塊牧場長滿了牧草，草在勻速生長。這塊牧場上的草可供24頭牛吃6周，或可供18頭牛吃10周。那么，這塊牧場上的草可供19頭牛吃幾周?

解：設這塊牧場上勻速生長的草可供x頭牛吃。

(24-x)×6=(18-x)×10

144-6x=180-10x

4x=36

x=9

(24-9)×6÷(19-9)或(18-9)×10÷(19-9)

=15×6÷10 =9×10÷10

=90÷10 =90÷10

=9(周) =9(周)

答：這塊牧場上的草可供19頭牛吃9周。

例2 一艘船發現漏水時，已經進了一些水，且水勻速進入船內。如果10人舀水，3小時舀完；如果5人舀水，8小時舀完。如果要2小時舀完，要安排多少人舀水?

解：設這艘船上勻速進入的水可供x人舀。

(10-x)×3=(5-x)×8

30-3x=40-8x

5x=10

x=2

(10-2)×3÷2+2 或(5-2)×8÷2+2

=8×3÷2+2 =3×8÷2+2

=24÷2+2 =24÷2+2

=12+2 =12+2

=14(人) =14(人)

答：如果要2小時舀完，要安排14人舀水。

例3 畫展9時開門，但早有人來排隊等候入場，從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多。如果開3個入場口，9時9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9時5分就不再有人排隊。第一個觀眾到達的時刻是幾時幾分?

解：設x個入場口剛好能夠使從9時起來的觀眾順利入場。

(3-x)×9=(5-x)×5

27-9x=25-5x

4x=2

x=0.5

則，排隊等候入場的人需要2.5個入場口，9分鐘進入展廳(或4.5個入場口5分鐘)；即，排隊等候入場的人相當于需要0.5個入場口，45分鐘進入展廳。

(3-0.5)×9÷0.5 或 (5-0.5)×5÷0.5

=2.5×9÷0.5 =4.5×5÷0.5

=22.5÷0.5 =22.5÷0.5

=45(分鐘) =45(分鐘)

9時-45分鐘=8時15分

答：第一個觀眾到達的時刻是8時15分。

例4 假設地球上新生成的資源的增長速度是一定的。據測算，地球上的資源可供110億人口生活90年(90年內將地球上的全部資源耗盡)，或者可供90億人口生活210年。世界總人口必須控制在多少以內，才能保證地球上的資源足以使人類不斷繁衍下去?

解：設地球上新生成的資源剛好夠x億人生活。

(110-x)×90=(90-x)×210

(110-x)×3=(90-x)×7

330-3x=630-7x

4x=300

x=75

答：世界總人口必須控制在75億以內，才能保證地球上的資源足以使人類不斷繁衍下去。

縱觀以上四例的解答，很容易看出用方程解答“牛吃草問題”的關鍵是先求出勻速生長的“草”可供多少頭牛吃。因為，如果“草”不生長，即“草”的量一定，那“牛的頭數”與“牛吃的時間”成反比例。只要解決了勻速生長的“草”的問題，整個問題就迎刃而解了。