試卷成績分布的正態性檢驗方法

摘要： 本文針對考試成績正態性檢驗研究中所存在的忽視檢驗方法的具體條件、缺乏方法的比較與整合等方法學上的問題，運用初等數學方法探討了正態性檢驗的途徑、工具和主要檢驗方法，并對檢驗方法進行了多方面比較和評價。

關鍵詞： 成績分布 正態性檢驗 方法

1.問題的提出

對考試成績應用教育統計與測量的方法進行正態性檢驗，是教學診斷的核心和主要基礎。所謂正態性檢驗，就是采用統計圖表或一些基本統計指標對考試成績進行分布形態的判別［１］，以揭示成績分布的整體形態、分段特征以及其他一些重要測量信息。根據判別的結果，教師可以從中提取一些重要的教學診斷信息，從而實施針對性的教學改革。

2003年以來，許多學者從教學管理［２］、教學監控［３］［４］等方面探討了正態性檢驗的意義和作用，發展了基于數理統計和概率論的正態性檢驗方法［５］［６］［７］，開發了相應的計算機管理系統［８］。這些研究在促進教學績效管理和教學改革方面做出了重要的貢獻，有力地推動了我國新一輪的教育改革和高校教學評建工作。但是這些研究還存著在一些缺陷，具體表現在：混淆了教育統計與數理統計的區別，缺乏對正態性檢驗方法在應用時的具體教育條件的分析，往往導致對教學問題的誤診；以線性代數和數理統計為基礎，未考慮高校文科教師和中小學教師的實際，限制了研究成果的應用；缺乏整合性研究，對正態性檢驗方法未能進行有效的比較和鑒別，導致因方法的不同而出現的爭議。因此，本文以初等數學知識和教育測量為基礎，結合統計工具來探討各種正態性檢驗方法的運用，并對各種檢驗方法進行優劣比較，以提高教師教學診斷的能力。

2.正態性檢驗及檢驗途徑

2.1正態性檢驗與成績分布

正態性檢驗借助基本統計指標或統計圖表，對樣本數據（如一個班級的考試成績）進行整理和縮減，以便揭示出雜亂無章的數據背后隱藏的統計規律性。通常情況下，正態性檢驗是判斷成績分布的偏斜程度，即判斷成績分布屬于正態分布還是屬于偏態分布。

正態分布是一種理論分布。在正態分布上，算術平均數（M）附近數據分布密度高，而遠離算術平均數，數據分布密度逐漸降低。偏態分布包括正偏態分布和負偏態分布。在正偏態分布上低分端數據分布密度高，而高分端分布密度很低。負偏態分布與正偏態分布恰恰相反。

2.2正態性檢驗的途徑

進行正態性檢驗有兩條途徑：一是應用原始數據的正態性檢驗，可獲得描述分布形態的統計指標，如偏度系數、峰度系數、擬合指數等。二是應用分組數據的正態性檢驗，包括獲得次數分布直方圖（表）和正態擬合曲線。

這兩種途徑各有優劣。第一種途徑所獲得的統計指標提供的測量信息很精確，但是無法反映出成績分布各階段特征。第二種途徑借助統計圖表，可以直觀有效地揭示分布的整體和各階段特征，但是由于在統計分組時存在歸組效應（歸組誤差）［１］，較之基本統計指標，其分析精度較差。

3.幾種主要的正態性檢驗方法

3.1直方圖法

采用成績直方圖法時，要注意樣本的大小和組距的大小。直方圖法通常采用的組距為10分，這種情況要求學生的人數N＞30。如果學生人數N＜30，則宜于采用小于10分的組距［１０］。

這是因為組距較小時歸組效應較小，相對而言損失信息較少，在數據較少的情況下可以獲得較多的曲線特征。

無論是手工制作還是應用Exel（設置內置函數）來制作，都可以生成直方圖。對于已經建立的直方圖，用光滑的曲線連接各分組矩形頂端的中點，可得到一條擬合曲線。而應用SPSS則更為簡便，對輸入的原始數據應用frequences命令中的histogram選項，就可以直接生成直方圖和一條擬合曲線。

對于考試成績遵從何種分布，需要根據曲線分布的形狀憑借經驗來判斷。為了減少判斷的誤差，可以結合算術平均數（M）、中數（Md）和眾數（Mo）三者之間的關系進一步確定。正態分布中，M=Md=Mo；正偏態分布中，M＞Md＞Mo；負偏態分布中，M＜Md＜Mo。此外還可以根據這三個量是否落入在直方圖中的同一區間進行判斷。

3.2Pearson偏態量法

Pearson偏態量法是根據M、Md、Mo幾個基本統計量的關系來計算Pearson偏態量（SK）。

3.5正態性檢驗方法的比較和工具選擇

3.5.1幾種正態性判別方法的比較

直方圖法簡單易行，直觀性強，能揭示整個分布的分組特征。但分析結果的隨意性較大，尤其是在組距過大或者過小時會產生明顯的歸組效應，分布的形態會隨著組距的變化發生一些變化，因此誤判的概率較高，同時它也不能給出判斷的錯誤概率，分析者的把握性最小。

皮爾遜偏態量法簡單易行，根據M、Md、Mo這幾個基本統計量就可得到結果。但由于缺少分布的直觀圖表，信息損失較大，因此誤判的概率較大。該法也不適用于分析平峰分布、多峰分布和離散分布情況，此外，還不能給出判斷的錯誤概率，分析者的把握性較小。

綜上所述，在正態性檢驗時要根據成績的實際情況以及教育測量和教育統計的條件，靈活地運用各種統計方法。為了提高正態性檢驗的科學性，在必要時特別是不同方法所檢驗的結果發生矛盾時，要同時運用多種方法進行審慎的比較分析。

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陜西理工學院教學改革課題《我校〈普通心理學〉有效性的研究與實踐》，項目編號為XJG0724