例談如何培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法

數(shù)學給予人抽象概括的能力，不僅可以使人有條理地在簡約狀態(tài)下進行思考，而且抽象概括本身就有發(fā)現(xiàn)真理的功能，這種功能實質(zhì)上是數(shù)學思想方法作為一種思維工具在發(fā)揮作用，這是數(shù)學給人思維素養(yǎng)的最重要的成分。數(shù)學思想方法是人們對數(shù)學知識內(nèi)容本質(zhì)的認識，是人們學習和應用數(shù)學知識過程中思維活動的向導。而數(shù)學思想方法的形成又有賴于合理有效的數(shù)學學習過程。數(shù)學教育家弗賴登塔爾說過：“與其說讓學生學習公理體系，不如說讓學生學習公理化；與其說讓學生學習形式體系，不如說讓學生學習形式化。一句話，與其說讓學生學習數(shù)學，不如說讓學生學習數(shù)學化。”這里的所謂數(shù)學化，是指通過學習數(shù)學知識、技能和方法，逐漸形成自己的數(shù)學思想和方法，學會用數(shù)學的眼光看待事物，學會用數(shù)學的方法解決問題。這就要求教師具有正確的數(shù)學教學觀。

《數(shù)學課程標準》指出：數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎之上，向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會。這里一是指在教學中應注意在從具體到抽象的學習過程中，讓學生對數(shù)學知識的來龍去脈有著清晰的認識，而非橫空出世；二是指在教師的合理引導下發(fā)揮學生主觀能動性，體驗數(shù)學的再創(chuàng)造過程，從而自我建構數(shù)學知識，形成數(shù)學思想方法的活動。前者重在教師的主導作用，學生在教師的引導下參與教學活動，體驗、發(fā)現(xiàn)、歸納，即在已有的生活經(jīng)驗基礎上逐漸由具體到抽象；后者主要指學生在數(shù)學學習過程中通過反思逐步積累數(shù)學的知識與方法，并能用數(shù)學的方法認識和解決實際問題。因此，前者是后者的基礎，后者是前者的提升。

由此，數(shù)學教學就必須避免以掌握一些解題訣竅為教學目標，從而導致死記硬背、生吞活剝地記住一些概念、定理為目標。教師的任務不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生，而是既要結合學生熟悉的事物善于深入淺出地引發(fā)數(shù)學問題、講解數(shù)學問題，把數(shù)學與生活緊密地結合起來，又要營造一個激勵探索和理解的氣氛，讓學生在觀察體驗、動手實踐的基礎上學會把眼前的問題與自己已有的知識體驗之間發(fā)生關聯(lián)，從中有效地學習方程思想、數(shù)形結合思想、分類思想，學習建模思想、轉化思想、整體思想和概率統(tǒng)計思想等方法。

一、讓學生在數(shù)學化的活動中感悟數(shù)學思想方法

案例1：從找位子游戲中學習模型化

為什么要建立直角坐標系？直角坐標系中的點為什么需要用兩個數(shù)據(jù)？這兩個數(shù)據(jù)為什么有順序？如何表達這種順序？這“一對數(shù)”如何與“兩個數(shù)”區(qū)別開來？義務教育課程標準實驗教科書《數(shù)學》（人教版）七年級（下）第六章第一課時《有序數(shù)對》的學習，就是要引導學生解決這樣的問題。當然，教材提供了很好的線索，如電影院里座位的號碼。但此情境讓農(nóng)村教師為難了。孩子沒有上過電影院，對幾排幾號沒有經(jīng)驗。善于想辦法的小孫老師便設計了下面的找朋友游戲。

游戲規(guī)則：（1）第一排的學生參加游戲；（2）把第二排規(guī)定為第一排，往后依次類推。教室各排從左到右依次為1號，2號……（3）教師手中準備這樣幾種座位票：有排無號，有號無排，有排有號，排號互換，無排無號等；（4）參加游戲的學生從教師手中抽取座位票，然后尋找座位票上的位置。找到對應位置的同學就是自己的朋友。找不到位置的學生，請他們談談找不到的原因。如果要找到位置，還需補上什么條件？

與自己有緣的是哪一位呢？學生的好奇心一下子被激發(fā)了，孩子們進入教師設計的情境之中。找到朋友的孩子興高采烈，拿著票而無法找朋友的孩子有的一籌莫展，有的則向教師提出了抗議。于是，在真實情境中，孩子們通過能否找到、找到誰的親身體驗，初步認識到要在平面上確定物體的位置一般需要兩個數(shù)據(jù)，僅一個數(shù)據(jù)，不能確定朋友；此時又與順序有關，不同的順序找到的是不同的朋友。在這樣一個智力活動處于激活的狀態(tài)下，“順序”、“數(shù)對”、把數(shù)對中兩數(shù)分開的“逗號”及形成一對數(shù)的“括號”等符號和概念擁有了具體的意義，學生在頭腦中形成了表象。于是，在這樣一個解決問題的實踐活動中，孩子們體驗了從具體場景到問題的抽象概括，進而轉化為思維的形式化和表達的符號化問題的過程，有序數(shù)對模型的最終建立使數(shù)學化思維過程真切自然，數(shù)學建模的真切性變得觸手可摸。

概念是人們對客觀事實的反映，不是憑空捏造的。因此，只有真正經(jīng)歷過從具體到抽象的思維過程，知識才能成為融合在學生認知結構中的有機部分，學生才會在解決具體問題的過程中靈活運用。這種把現(xiàn)實生活與數(shù)學學習溝通起來，把具體問題與抽象概念聯(lián)系起來的教學方法，不僅有利于數(shù)學思想方法的培養(yǎng)，而且避免了人為編造或過于抽象的數(shù)學問題，以至于學生形成“數(shù)學是高高在上的”潛在恐懼感，對學生在情感、態(tài)度、價值觀方面具有良好的教育意義。

案例2：哪家旅行社合算

學習一元二次方程時，教師給出這樣一個問題：

某校科技小組的學生在3名教師帶領下，準備前往國家森林公園考察，采集標本。當?shù)赜屑住⒁覂杉衣眯猩纾涠▋r都一樣并表示對師生都有優(yōu)惠：甲旅行社表示帶隊教師免費，學生按8折收費；乙旅行社表示師生一律按7折收費。經(jīng)核算，甲、乙兩旅行社的實際收費正好相同。該科技小組共有多少學生?

教師請一位已完成計算的學生把解法在黑板上演示一下。

解：設科技小組共有x名學生，兩家旅行社定價1，則

80%x=70%（x+3）

解得x=21。

答：該科技小組共有21名學生。

“正確。”但是，教師話鋒一轉，拋出了第二個問題：如果上題中的科技小組增加學生人數(shù)，那么去哪家旅行社較合算？

經(jīng)過思考，學生們七嘴八舌地說上了，氣氛逐漸熱烈。

“我們認為去乙旅行社較合算。我們試了，當增加1人時：

甲旅行社80%（21+1）=17.6

乙旅行社70%（21+3+1）=17.5

17.6＞17.5

所以，選乙旅行社合算。”

“我們也選乙旅行社，但我們認為增加1人不放心，我們一共試了20人，得到這個結論。”

師：以上兩個小組說得很好，通過試一些特殊情況猜想到去乙旅行社更合算，這是一種很好的思維方式，特別在小范圍很有效。但人數(shù)增加為200人，情況還是這樣嗎？學生們還有其他看法嗎？

照理，就特殊情況而得的猜想，應該有嚴密的證明、說理過程。若用傳統(tǒng)的“請學生們證明”可能就會出現(xiàn)無從說起的局面。而“增加更多的人”的提問方式，顯得有實際意義，“入口”小，學生容易接受，因而也就有了一定的挑戰(zhàn)性。

沉默了一會兒，小王打破了僵局。

“我也選乙旅行社。但我一個也不需要試。我認為增加的全是學生。而學生在甲旅行社打8折，乙旅行社打7折，因此選乙旅行社一定沒錯。”

一片嘩然。對呀！就是！我怎么沒想到？……

師：同學們，你們認為小王同學的發(fā)言有說服力嗎？

“有說服力。比前面兩個同學的發(fā)言更全面，更有說服力。”

師：如果其他條件不變，選甲旅行社比選乙旅行社合算，那么學生人數(shù)有什么變化？

教師提出了第三個問題。

生：學生人數(shù)小于21人時，選甲旅行社合算。

師：為什么?

生：因為前面算出當學生人數(shù)為21人時費用相等，學生越多，去乙旅行社越合算。那么，反之，學生越少，去甲旅行社越合算，否則不是矛盾了嗎？

學生的生活經(jīng)驗和直覺不自覺地發(fā)揮了作用。

師：能從反面思考解決問題，很好。那么，再提第四個問題：教師人數(shù)變?yōu)?人，打折情況不變，又如何呢？

條件的不斷變化，促使學生不斷變換思考角度。

生1：我通過方程先算出兩家旅行社實際收費一樣的情況，再討論其余情況。學生人數(shù)應是14人。

生2：我利用了第一個問題的結論。既然教師3人、學生21人時收費一樣，那么教師為2人時，可按比例算，即：教師人數(shù)/學生人數(shù)=3/21=1/7，那么，教師2人時，應該有：2/學生人數(shù)=1/7，所以，學生人數(shù)14人時兩家收費一樣。

這后一種解法的思想方法教師事先根本就沒想到，突如其來，令教師感到壓力，但直覺告訴教師，孩子的想法是正確的。

（沉默了一會兒）

師：這位學生的發(fā)言很好！獨立思考，很新穎！是否正確，老師需要同學們的幫助，共同探討。

當學生終于通過方程80%x=70%（x+3）研究得出，方程本身可以寫成（x+3）/x=80%/70%，即收費相等時師生總人數(shù)與學生人數(shù)之比為8∶7，那么就是教師與學生人數(shù)之比為1∶7時，兩旅行社的收費相等。由此，還得出只要去兩旅行社費用一樣，那么，無論教師如何變化，我們都有相應的辦法求出學生人數(shù)的結論。

此時的學生除了對生2的直覺大為欽佩外，又有了知識上的收獲。

在接下來的課中，教師聯(lián)系學生的解法，對本堂課提出的問題和每個問題的解決方法作了小結。

……

與其給人死板的知識，不如給人以生動、活潑的思想方法，如此才能點石成金。教師把一道封閉的應用題改編成一道開放性生活問題，模擬實際情況，精心設計四個問題，激發(fā)了學生的好勝心。在設計解決問題的方案過程中，學生儼然是個當家人，感到肩負重擔，解決問題的愿望迫切，使創(chuàng)造性思維火花得到進發(fā)。

值得贊揚的還有教師對紛繁的問題和解法所作的及時小結。學生在解決問題過程產(chǎn)生出來的方法有時是不自覺的，教師的及時肯定和歸納性總結非常有利于在學生頭腦中形成明確的、穩(wěn)固的思想方法，有利于學生自覺運用這些思想方法。

教學實驗研究表明，當學生進行整體思維時，他得到整個經(jīng)驗和情感的支持，從而較能調(diào)動他的思維積極性。采取分列式思維的學生，總是把重點放在一系列子問題上，他們也把子問題聯(lián)系在一起考慮，但這時十分重視其邏輯順序。他們在對一個問題行將結束時才對所學內(nèi)容有較為完整的看法。這兩種學生到最后都達到了同樣的理解水平。因此，教學中不同學生的不同思維風格都應予以尊重，也應在表示肯定的同時，提倡互相學習。

從本案例的教學氛圍來講，可以看到課堂上師生關系平等融洽，給學生心理上以安全感。而在學生思維活躍的情況下，教師也就時刻都有可能接受學生的挑戰(zhàn)。就這堂課而言，教師也遇到了挑戰(zhàn)，突如其來的用比例方式完成的回答，令教師一時思維“短路”。按當時的情境，若為維護教師所謂的權威，固執(zhí)地駁斥學生的發(fā)言，告訴他們用方程來解就行了，將會扼殺多少學生的積極性。可見，學生學習數(shù)學化的過程、學習數(shù)學思想方法的過程，也是教師教學的藝術化的過程。

二、從現(xiàn)象到本質(zhì)——數(shù)學思想方法的提煉是重要的數(shù)學化過程

案例3：媽媽的留言條

在上《用字母表示數(shù)》一課時，劉老師先讓學生一起看短文：

周末，媽媽早晨上班時，囑咐讀七年級的小明打掃一下家里的衛(wèi)生，小明按媽媽的要求做完事后，坐在窗邊想著他想買的玩具，可又愁沒錢。他計上心來，在媽媽回家前在桌上留了一張紙條，然后躲在房里看媽媽的動靜。

媽媽看見小明的紙條上是這樣寫的：“拖地：3元；疊被：1元；抹窗戶：5元；丟垃圾袋：1元，共計10元。”媽媽看后，一言不發(fā)。提筆在紙條后加上幾行字：“吃飯：x元；穿衣：y元；帶去看病：z元；關心：a元……共計b元。”寫完就到廚房做飯去了，小明溜出來一看，心生慚愧，趕緊收起了紙條。

師：媽媽寫的x，y，z，a，b表示什么？小明為什么心生慚愧？如果你是小明，你會怎么做？

生1：x，y，z，a，b表示錢數(shù)。小明想到媽媽為自己所做的一切而心生慚愧。如果我是小明，我會幫媽媽做家務。

生2：如果媽媽這樣寫，我會還給媽媽b元錢。

生3：媽媽的付出不是能用數(shù)字計算的，媽媽這樣寫的時候，并沒有想向小明要錢的意思，我認為x，y，z，a，b表示0。

生4：x，y，z，a，b表示很大很大的數(shù)，因為媽媽給予我的太多太多。

生5：如果我是小明，我從現(xiàn)在起就刻苦學習，長大了用2x，2y，2z，2a，2b……的代價報答媽媽。

生6：我認為x，y，z，a，b……我長大了要以nx，ny，nz，na，nb（n是一個很大的數(shù)）多的愛回報媽媽以及所有愛我和關心我的人（他把字母表示數(shù)巧妙地用在了他的語言中，讓其他學生羨慕不已）。

師：大家歸納一下，短文中的字母表示什么？

教師與學生一起歸納，并指明，用字母表示數(shù)是一種重要的數(shù)學方法。

“用字母表示數(shù)”是學生從算術學習到代數(shù)學習的重要跨越。該教學設計由生活情境入手，實例自然，有利于調(diào)動學生數(shù)學學習的內(nèi)在動機，符合學生對數(shù)學的認識從具體到抽象的規(guī)律性，因而有利于發(fā)展數(shù)學化的思維。但是，在以實際問題作為背景去組織教學的同時，應防止另外一種傾向，即只滿足于聯(lián)系實際，而忽視了應有的思想方法的提升。我們應認識到，思想方法的提升實際上也是一個學習“數(shù)學化”的過程，而后者顯然有著更為普遍和重要的意義。

比如，后面的教學中在初步建立起“符號可以被用來表示數(shù)”這樣一種認識后，我們就可引導學生思考這樣的問題：符號a可以代表哪些數(shù)？進而，－a是否一定代表負數(shù)？是否一定比a小？等等。類似的，在學會了用式表示運算律以后，我們又可提出如下的問題：“x+y=y+x”與“2+5=5+2”相比哪個具有更大的表現(xiàn)力？等等。因此，我們不能滿足于教會學生正確地進行表示，還應當引導學生對數(shù)和字母進行比較，從而準確地把握兩者的異同。而如果缺少必要的理論分析，就很難幫助學生較好地去實現(xiàn)數(shù)學思想方法的飛躍。

案例4：是你教給我的方法

這是一次數(shù)學競賽時的故事。

學生小鄭走出考場后．就興奮地對胡老師說：“老師，這次一道有關絕對值的題目，你給我們做過，記得那時我做不出來，后來你教給我了方法，印象特別深。”當時胡老師也很興奮，連忙找來試卷，然后打開近一年前的興趣小組輔導備課筆記進行比較。

競賽的題目是：設x是實數(shù)，y=|x-1|+|x+1|，下列四個結論：A．y沒有最小值；B．只有一個x使y取到最小值；C．有有限個（不止一個）x使y取到最小值；D．有無窮多個x使y取到最小值。其正確的是（ ）。

而胡老師曾給學生做過的題目是解方程：|x-1|+|x+1|=3。兩道題目雖有類似之處，都含有兩個絕對值，但形式不一，一個是函數(shù)形式，一個是方程形式，而且時間相隔很長。為什么小鄭做到這道題時，馬上會聯(lián)想起以前老師給他做過的那一道題目呢？一是由于小鄭開始不會做，因此留下的印象特別深。更重要的是，當初胡老師給學生講評時，并不是就事論事，而是就事論理，引導學生理解絕對值的幾何意義，突出了數(shù)形結合的解題功能，使學生明白，所求的即是數(shù)軸上代表的那一點到代表－1和1的距離的和為3。同時，胡老師還對這道題目進行變式，如果方程|x-1|+|x+1|=2，方程的解會發(fā)生什么變化，讓學生進一步領悟數(shù)形結合的解題本質(zhì)。

胡老師深有體會地說，時隔那么多年，雖然教學中的很多事情會淡忘，但這件事情對他本人卻是深有教益。題目中含有兩個絕對值，而去掉絕對值的一般方法要到高中才學習，故此題對初中生來說，很難直接去掉兩個絕對值的符號。學生能解答此題，完全得益于數(shù)學思想方法的升華。

這里的教學思想方法就是數(shù)形結合的思想方法。數(shù)形結合是將抽象的數(shù)量關系與直觀的圖形結合起來研究數(shù)學問題，使抽象思維和形象思維相互作用，實現(xiàn)數(shù)量關系與圖形性質(zhì)的相互轉化。正因為把|x-1|+|x+1|=3這樣一個抽象難懂的式子，在數(shù)軸上表示－1和1的點的距離之和之后，使代數(shù)問題的信息轉換到了直觀圖形的問題上，解決起來當然容易多了。而巧妙的方法也給學生留下了深刻的印象。這正所謂“心中有數(shù)但不能得意忘形”。

數(shù)學思想方法蘊涵于數(shù)學基礎知識之中，相對來說，它是隱性的、抽象的。為了更好地實現(xiàn)數(shù)學思想方法的教學，培養(yǎng)學生的數(shù)學化思想，教師要具備較高的數(shù)學思想方法素養(yǎng)，認真學習，掌握數(shù)學思想方法在整個數(shù)學發(fā)展中的地位，努力把初等數(shù)學和現(xiàn)代數(shù)學的基本思想方法有機地結合起來。