基于線性系統穩定性分析及ＭＡＴＬＡＢ仿真與應用

摘 要： 本文對線性系統從時域、復域和頻域進行了穩定性分析，總結了控制系統的主要判據，并借助MATLAB及控制工具箱對線性系統的穩定性進行了分析，分析過程簡單，結合實例驗證了其真實性、有效性，同時應用MATLAB設計控制器，對控制系統的性能指標進行了改善。

關鍵詞： 線性系統 穩定性 MATLAB 控制系統校正

引言

穩定性是系統能在實際中應用的首要條件。因此，如何分析系統的穩定性并找出保證系統穩定的措施，便成為自動控制理論的一個基本任務［１］。線性系統的穩定性取決于系統本身的結構和參數，而與輸入無關。線性系統穩定的條件是其特征根均具有負實部，在實際工程系統中，為避開對特征方程的直接求解，就只好討論特征根的分布，即看其是否全部具有負實部，并以此來判別系統的穩定性，由此形成了一系列穩定性判據，而且這些方法都已經過了數學上的證明，是完全有理論根據的，是實用性非常好的方法［５］－［８］。在MATLAB未產生前，由于自動控制系統的復雜性，判別穩定性計算量非常大，而采用了MATLAB以后，穩定性分析將變得很簡單。采用MATLAB還可以對復雜的控制系統進一步進行分析和設計。

1.控制系統穩定性定義

關于穩定性的定義有許多種，較典型的說法有兩種：一種是由俄國學者李雅普諾夫首先提出的平衡狀態穩定性，另一種指系統的運動穩定性。對于線線控制系統而言，這兩種說法是等價的。根據李雅普諾夫穩定性理論，線性控制系統的穩定性可以定義如下：若線性控制系統在初始擾動的影響下，其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統為漸近穩定，簡稱為穩定；反之，若在初始擾動影響下，系統的過渡過程隨時間的推移而發散，則稱系統為不穩定。由上述穩定性定義可以推知，線性系統穩定的充分必要條件是：閉環系統特征方程的根都具有負實部，或者說閉環傳遞函數的極點均位于左半S開平面（不包括虛軸）［１］。

2.系統穩定性分析方法概述［２］

在經典控制理論中，常用時域分析法、復域分析法或頻率分析法來分析控制系統的性能。不同的方法有不同的適用范圍，下面對上述方法進行具體研究。

2.1時域分析法

在經典控制理論中，時域分析法是一種直接在時間域中對系統進行穩定性分析的方法，具有直觀、準確的優點，并且可以提供系統時間響應的全部信息。在時域分析系統的穩定性，必須研究在輸入信號作用下，當時間t趨于無窮時，系統的輸出響應趨于最終期值h（∞）。顯然，一個穩定的系統，其時域響應曲線必須是衰減的。

2.2復域分析法

在復域中進行系統穩定性分析，尤其當系統參數K的變化時，選定合適的參數范圍使系統達到所需要穩定要求。有兩種方法：一是直接法，即對于較易得到系統閉環傳遞函數的場合，直接求出系統所有閉環極點，判斷是否都具有負實部來確定系統的穩定性；二是根軌跡法，利用系統開閉環傳遞繪制根軌跡，由線性系統穩定的充分必要條件：閉環傳遞函數的極點均位于左半S開平面（不包括虛軸），確定使根軌跡在左半S開平面部分時參數范圍為系統穩定的區域。

2.2.1直接法

若n≤2，可直接求取其特征方程根（即閉環極點）來判斷系統穩定性，即使（1）有待定參數，也容易求出特征方程根的一般形式，但對于求取n>3的高階系統特征方程式的根很麻煩，所以對高階系統一般都采用間接法來判斷穩定性，在時域中常采用間接方法是代數判據（也稱勞斯判據）。

2.2.2根軌跡法

根軌跡法是一種圖解方法，這種方法是根據系統開環零、極點的分布來研究系統中可變參數變化時，系統閉環特征根的變化規律，從而研究系統的穩定性。因此，根軌跡法在控制系統的分析和設計中是一種很實用的工程方法。它的最大特點是能夠很清晰地了解到閉環特征根的分布，一目了然地得出系統穩定時參數的取值范圍，并且不必求出系統的閉環傳遞函數，適用于較復雜系統。根軌跡法的關鍵環節就是能夠正確地繪制出系統的根軌跡，簡單根軌跡可用試探法繪制，復雜根軌跡則應利用其繪制基本規則進行繪制。

2.2.3頻域分析法

頻域分析法是應用頻率特性研究系統的一種經典方法，以系統的頻率特性為數學模型，用bode圖或其他圖表作為分析工具。當系統的開環傳遞函數表達式不易求出，就無法應用代數判據或根軌跡法判斷閉環系統的穩定性，此時應用頻率穩定判據就非常方便。其前提條件就是要正確地把系統的頻率特性繪制成曲線，常用的頻率特性曲線大致有三種：幅相曲線（極坐標圖）；bode圖，也稱為對數頻率特性曲線；對數幅相曲線（尼科爾斯圖）。曲線的繪制可根據系統的開環頻率特性的表達式通過取值描點法、疊加法繪制根軌跡草圖，或利用MATLAB等計算機輔助工具來實現［４］，［７］。

3.MATLAB實現系統穩定性分析［６］，［８］

3.1時域分析法判斷系統的穩定性

程序如下：

num=［50］；den=［13-10］；

［num1，den1］=cloop（num，den）；

impulse（num1，den1）title（‘impulse response’）

程序中num為開環傳遞函數分子系數矩陣，den為分母系數矩陣。

系統的穩定性，是指系統在遭受外界擾動偏離原來的平衡狀態，當擾動消失后，系統自身仍有能力恢復到原來平衡狀態的一種能力［３］。從圖1可以很直觀地看出該系統是穩定的。

3.2直接判定法

根據穩定的充分必要條件判別線性系統的穩定性，最簡單的方法是求出系統所有極點，并觀察是否含有實部大于0的極點，如果有，系統則不穩定。然而實際的控制系統大部分都是高階系統，這樣就面臨求解高次方程，求根工作量很大，但在MATLAB中只需分別調用roots（den）或eig（A）即可，這樣就可以由得出的極點位置直接判定系統的穩定性。

創建M文檔，命名為00.m，在M文檔中輸入如下程序：

G=tf（［1，7，24，24］，［1，10，35，50，24］）；

roots（G.den{1}）

運行結果：ans=

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000

由此可以判定該系統是穩定系統。

3.3軌跡法判斷系統的穩定性

MATLAB控制工具箱中提供了rlocus函數，來繪制系統的根軌跡，利用rlocfind函數，在圖形窗口顯示十字光標，可以求得特殊點對應的K值，進而分析系統穩定性情況。

已知一控制系統，H（s）=1，其開環傳遞函數為：

selected_point=0+1.4373i

k=6.1979

p=-3.0178

0.0089+1.4331i

0.0089-1.4331i

光標選定分離點，程序結果為：

selected_point=-0.4194-0.0076i

k=0.3850

p=-2.1547

-0.4226+0.0069i

-0.4226-0.0069i

上述數據顯示了增益及對應的閉環極點位置。由此可得出如下結論：

（1）0

（2）k=0.4時，對應為分離點，系統處于臨界阻尼狀態；

（3）0.4

（4）k=6時，系統有一對虛根，系統處于臨界穩定狀態；

（5）k>6時，系統的一對復根的實部為正，系統處于不穩定狀態。

3.4Nyquist曲線判斷系統的穩定性

已知一控制系統，H（s）=1，其開環傳遞函數為：

創建M文檔，命名為01.m，在M文檔中輸入如下程序：

den1=［1，3，2，0］；%求系統開環傳遞函數

Gs1=tf（num1，den1）；

Gs2=tf（num2，den1）；

%求系統閉環傳遞函數

Hs=1；

Gsys1=feedback（Gs1，Hs）；

Gsys2=feedback（Gs2，Hs）；

t=［0：0.1：25］；

Figure（1）；

%繪制閉環系統階躍響應曲線

Subplot（2，2，1）；step（Gsys1，t）；

Subplot（2，2，3）；step（Gsys2，t）；

%繪制開環系統的nyquist圖

Subplot（2，2，2）；nyquist（Gs1）；grid on；

Subplot（2，2，4）；nyquist（Gs2）；grid on；

奈氏穩定判據的內容是：若開環傳遞函數在s平面右半平面上有P個極點，則當系統角頻率X由-∞變到+∞時，如果開環頻率特性的軌跡在復平面上逆時針圍繞（-1，j0）點轉P圈，則閉環系統是穩定的，否則是不穩定的。

當k=3時，從圖3（a）中可以看出，Nyquist曲線不包圍（-1，j0）點，同時開環系統所有極點都位于s平面左半平面，因此，根據奈氏判據判定以此構成的閉環系統是穩定的，這一點也可以從圖2（a）中系統的單位階躍響應得到證實，從圖3（a）中可以看出系統大約23s后就漸漸趨于穩定。當k=9時，從圖3（b）中可以看出，Nyquist曲線按逆時針包圍（-1，j0）點2圈，但此時P=0，所以根據奈氏判據判定以此構成的閉環系統是不穩定的，圖3（b）的系統階躍響應曲線也證實了這一點，系統一直振蕩不定。

4.應用MATLAB設計全狀態反饋控制器實現系統的校正［３］，［７］，［９］

因為由初始條件和參考輸入引起的系統過渡過程的特性直接取決于極點，所以極點配置設計的目的是使用反饋使得系統的過渡過程能夠在一個可以接受的時間周期內衰減消失。狀態反饋是將系統的每一個狀態變量乘以相同的控制增益矩陣F，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統的輸入。如果一個系統是能控的，且其所有變量均可用于反饋，則可應用全狀態反饋控制式u（t）=-Fx（t）將閉環系統的極點配置在s平面的任意位置。

例：求控制增益矩陣F，使例1給出的系統在受u（t）=-Fx（t）控制時，原系統一對不穩定極點1.0000+3.0000i，10000-3.0000i，被重新配置在-1.0000和-1.5000位置，其余極點不變。繪出加入全狀態反饋控制器后系統的零點極點圖（圖4），判定系統穩定性。通過仿真脈沖響應來驗證穩定性，并和原系統響應作比較。

解：（1）判斷原系統是否能控。根據矩陣A和B，利用MATLAB可以判斷例1給出的系統是能控的。

（2）求控制增益矩陣F。得F=［18.00004.6250-0.4690-1.0625］。

（3）用MATLAB繪制出校正后系統的零點、極點圖、校正前后系統脈沖響應對比圖（圖5）。

由于將原系統不穩定的極點進行了重新配置，原系統得到了校正，由不穩定系統變成了穩定系統。

5.結論

控制系統的穩定性對于建造系統或設計系統有著重要意義，也是對系統進行綜合的主要依據，分析系統的穩定性，便成為研究自動控制理論不可缺少的內容。本文總結了系統穩定性分析的方法。通過MATLAB的工具箱可以很容易地繪制處系統的根軌跡、時域響應、頻域響應，使得分析系統的穩定性變得快捷方便。最后應用MATLAB設計控制器，實現了對系統性能的改善。

參考文獻：

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