論數學教學中對學生邏輯思維能力的培養

摘要： 本文作者結合數學教學實踐，探討如何通過概念教學及揭示證題規律培養學生的邏輯思維能力。

關鍵詞： 概念教學 證題規律 邏輯思維能力

在數學教學中，需要培養的能力有兩類：一類是在很多活動中都能表現出來的觀察力、記憶力、思維力、想象力等，是一般能力，即智力；另一類是結合數學知識的學習和運用所反映出來的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，是特殊的能力，是學生應具備的三種基本能力。在數學教學中不但要培養學生的一般能力，更重要的是培養學生的三種基本能力。

多年的教育實踐使我感到，剛剛跨入大學校門的學生，在數學學習過程中，表現出對一些需要計算和涉及空間圖形的問題比較得心應手，經過一段時間的思考便可順利地解決問題。而對于需要利用概念、性質、定理證明的問題卻感到很困難，不知從何下手。這說明，他們經過中學階段的學習和訓練，已經基本具備了運算能力和空間想象能力。邏輯思維能力雖然也得到了一定的培養，但還很欠缺，還需要進一步的培養和提高。下面筆者結合教學實踐對培養學生的邏輯思維能力談一下自己的粗淺認識。

一、加強概念教學，培養學生的邏輯思維能力

概念是所研究的對象的本質屬性在人的思維中的反映。在高等數學的學習中，概念是所有性質、定理及一些重要結論的基礎和前提，每一個理論都是一些必要的概念和公理通過邏輯演算和推理發展而形成的。所以在高等數學的教學中，使學生真正理解和掌握有關概念，即理解和掌握概念的內涵和外延及其表達形式；了解有關概念之間的關系，形成系統的知識；運用概念進行正確的推理、分析和演算；形成運用概念的熟練技能，直接關系到學生的邏輯思維能力的培養。因此，讓學生獲得準確、清晰的概念是培養邏輯思維能力的前提。

有許多概念是根據數學發展和解決問題的需要而產生的。在概念教學時，要講清概念的形成，同時抓住概念的本質特征進行剖析，引導學生思考，使學生明確概念的內涵和外延，不被表面現象所迷惑。

例如，在講解“線性空間”的概念之前，先給出一些學生比較熟悉的集合的例子：數域F上的多項式全體的集合；空間中從原點出發的向量全體的集合；數域F上的m×n矩陣全體的集合。在教學時，先指出這些例子所具有的共同屬性：第一，都有兩個集合，一個是數域，另一個是非空集合；第二，都有兩種運算，一個叫做加法的運算，另一個叫做數乘的運算；第三，這兩種運算具有封閉性，并且滿足共同的八條運算規律。然后指出具有這些屬性的數學對象相當廣泛，為了對這類對象用統一的方法加以研究，把兩種運算概括抽象出來，并要求具有第三種屬性。通過這樣高度的概括和抽象，便自然地引出了線性空間的概念。又如：n階行列式、歐式空間等概念都是通過高度的概括和抽象而得出的。這樣不僅可以幫助學生更好地理解和掌握概念，而且可以培養學生抽象、概括的能力，達到培養學生邏輯思維能力的目的。

二、揭示證題規律，發展學生的邏輯思維能力

在數學教學中，對于性質、定理、例題、習題等，能夠恰當地揭示和使用證題規律，是進一步發展學生邏輯思維能力的有效手段，揭示規律的過程是培養學生的觀察、分析、綜合、歸納、概括等能力的過程。這些能力的形成，對學生今后的學習和工作都會產生深遠的影響。

1.構造性證明的證題規律

在高等數學的證明問題中，經常會遇到證明存在性的問題。像這類問題的證明多采用構造性的證明，即要證明某事物的存在性，利用已知的條件和結論，構造出一個符合要求的事物。這種證明問題的規律在高等數學中經常被采用。揭示這一證題規律，可以進一步地發展學生的邏輯思維能力，使學生具有創造性的邏輯思維。例如，證明任意兩個多項式都有最大公因式，這就是證明存在性的問題，具體證明方法是：先利用“輾轉相除法”求出一個多項式，然后證明這個多項式就是這兩個多項式的最大公因式。這樣不僅給出了問題的證明，還給出了求兩個多項式的最大公因式的一般方法——輾轉相除法。

又如，證明n維線性空間V的任一子空間V₁都有余子空間。為了證明這一問題，先利用子空間V₁的基把它擴充為V的基，添加上的向量生成V的一個新的子空間記為V₂，然后證明V₂就是V₁的余子空間。通過這樣的構造性證明，不僅給出了求一個子空間的余子空間的具體方法，同時利用這一方法還可以得出一個結論：一個子空間的余子空間不唯一。

在教學中，遇到這類構造性的證明問題時，教師都需要把證明問題的規律和思路講清，反復經過幾次這樣的證明問題的教學后，學生就會潛移默化地掌握這一證題規律和思路，達到發展學生邏輯思維能力的目的。

2.間接證法的證題規律

有些命題往往不易或不能從原命題直接得到證明，而是通過證明它的等價命題，間接地達到證明原命題的目的。這種證明問題的方法被稱為間接證法。在教學時遇到這樣的證題，要把這種證法的證題規律向學生交代清楚。如間接證法中的反證法的證題規律是：先假設待證論題的結論不成立，然后根據已知的條件和假定推出一個顯示邏輯矛盾的結果，便可斷定待證論題的結論成立。在高等數學的證明問題中，還經常遇到p→（q∨r）的命題，它的證題規律通常是：先假定結論q或r之一不成立，然后證明另一結論一定成立，達到證明原命題的目的。

例如：設p（x）是不可約多項式，如果p（x）|f（x）g（x），那么p（x）|f（x）或p（x）|g（x）。這一問題的證明就是采用先假定p（x）不能整除f（x），然后證明出p（x）|g（x）的間接證法，這樣便可斷定p（x）|f（x）或p（x）|g（x）。在教學時，要把各種證明問題的規律，通過實例揭示給學生，這樣在培養學生證題能力的同時，又能培養學生的邏輯思維能力。

總之，在教學時，應注重對學生的邏輯思維能力的培養，加強概念的教學，講清概念的形成、內涵、外延。在進行定理、性質、例題等推理證明的教學時，應通過講解證題的思路，揭示出證題的規律。這樣不僅可以幫助學生理解和掌握知識，還有利于培養學生的邏輯思維能力，掌握科學的思維方法。