關于Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ平坦覆蓋的幾點注記

摘要： 文獻［1］中Enochs證明了在右凝聚環上，任意模都有Gorenstein平坦覆蓋和平坦模類的右正交類的包絡。本文在一般環上討論了任意模的平坦覆蓋和包絡的存在性問題。

關鍵詞： Gorenstein平坦覆蓋 包絡

1.基本概念

文中所有的環是有單位元的結合環，模是酉模。設χ是一個左-模類.在文獻（2）中稱φ：X→M為左R-模的?掊-覆蓋，如果(1)X∈?掊，(2)對任意X′∈?掊和任意φ′：X′→M，都存在f：X→X使得φ′=φf，等價于Hom (X′，X)→Hom (X′，M)→0是正合的。(3)若有f：X→X使得φ=φf，則f是自同構的.如果只有（1）和（2）滿足時，稱X∈?掊為M的?掊-預覆蓋。在文獻［2］中稱φ：X→M是特殊?掊-預覆蓋。如果φ：X→M是滿同態并且X∈?掊，Kerφ=K∈?掊 。對偶地可定義模的包絡，預包絡，特殊預包絡。關于覆蓋和包絡已有大量的研究結果(見文獻［1］，［2］，［3］)。

在文獻［4］中，稱模M是Gorenstein-平坦的，如果存一個完全的平坦分解F使得M≌Im(F →F )。其中完全平坦分解是指平坦模的正合列F：…→F →F →F →F →…并且對任意的內射模I有I?塥F是正合的。顯然，平坦模是Gorenstein-平坦模。所有Gorenstein-平坦模做成的模類記為GF(R)。

給定模類R，稱R ={X|Ext(F，X)=0，?坌F∈R}是R的右正交類。我們用C（R）表示模類GF（R）的右正交類.顯然C（R）包括了所有的內射模。

2004年Holm等人于文獻［4］中引入了模類投射可解和內射可解的定義，稱模類?掊具有投射可解性，如果模類?掊包括所有的投射模，對任意的左R-模正合列O→A→B→C→O，若C∈?掊，則Ｂ∈?掊等價于A∈?掊。對偶地可定義模類的內射可解性。

2.主要結果

引理1：設F∈GF（R），M是左R-模。若α：F→M是M的Gorenstein平坦預覆蓋，則Ker(α)∈C（R）。

證明：若α:F→M是M的Gorenstein平坦預覆蓋，則α為滿同態。可得到短正合列0→Kerα→F→M→0，對任意F′∈GF（R），用函子Hom （F′，-）作用此短正合列得到0→Hom (F′，Kerα)→Hom (F′，F)→Hom (F′，M)→Ext(F′，Kerα)。因為α:F→M是M的Gorenstein平坦預覆蓋，故有Hom (F′，X)→Hom (F′，M)→0，所以Ext(F′，Kerα)=0，故Ker(α)∈C（R）。

引理2：設GR(R)是投射可解的，并且0→C →C →C →0是左R-模正合列。若C ，C ∈C(R)則C ∈C(R);若C ，C ∈C(R)，則C ∈C(R)。

證明：設C ，C ∈C(R)。對任意F∈GR（R），用Hom (F，-)作用正合列0→C →C →C →0。因為Ext(F，C )→Ext(F，C )→Ext(F，C )正合，并且Ext(F，C )=Ext(F，C )=0，所以Ext(F，C )=0。這樣C ∈C(R)。同理利用引理2可以證明若C ，C ∈C(R)，則C ∈C(R)。

引理3：設O→A→B→C→O是左R-模正合列。

（1）若A∈C(R)，B∈GF(R)則B→C是C的Gorenstein平坦預覆蓋。

（2）若B∈C(R)，C∈GF(R)則A→B是A的C(R)預包絡。

證明：(1) 對任意F∈GF(R)，用函子Hom (F，-)作用正合列O→A→B→C→O得到Hom (F，B)→Hom (F，C)→Ext(F，A)=0。因此B→C是C的Gorenstein平坦預覆蓋。

(2) 對任意F∈C（R），用函子Hom (-，F)作用正合列O→A→B→C→O得到Hom (B，F)→Hom (A，F)→Ext(C，F)=0。因此A→B是A的C(R)預包絡。

定理1：若每個左R-模都有Gorenstein平坦覆蓋，則任意左R-模都有C(R)預包絡。

證明：設M是左R-模，E（M）是M的內射包。存在短正合列0→M→E(M)→N→0。

由假設知，N有Gorenstein平坦覆蓋φ∶F→N。作E(M)→N和F→N的拉回圖：

因為F是N的Gorenstein平坦覆蓋，由引理1得K∈C(R)。又因為E(M)∈C(R)，由引理2得C∈C(R).由引理3知，C∈C（R），F∈GF(R)，從而M→C是M的C(R)預包絡。

定理2：若每個左R-模都有C(R)預包絡，并且C(R)預包絡的余核是Gorenstein平坦模，則每個左R-模都有Gorenstein平坦預覆蓋。

證明：設M是左R-模。則存在短正合列O→N→P→M→O，其中P是投射模。設N→C是N的C(R)預包絡。作N→C和N→P的推出圖：

由條件知D∈GF(R)，又因為P是投射模，所以P∈GF(R)，從而G∈GF(R)，這樣G→M是M的Gorenstein平坦預覆蓋。

參考文獻：

［1］Enochs E E，Jenda O M G.Jenda，The Existence of Gorenstein Flat Cover［J］.Math.Scand，2004，94：46-42.

［2］Xu J Z.Flat Cover of Modules［M］. Lecture Notes in Mathematics，Vol.1634，Spring-Verlag，1996.

［3］Enochs E E.Jenda O M G.Relative Homological Algebra［M］.Berlin，2000.

［4］Holm H.Gorenstein homological dimensions［J］.J.Prue Appl.Algebra，2004，189：167-193.

［5］Bican L，Bashier E，Enochs E E.All modules have flat cover［J］.Bull.London Math.Soc，2001，33：385-390.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>