摭談有效培養學生數學思維的深刻性

摘要： 良好的思維品質既是學生理解知識的必要前提，也是鞏固知識重要的心理條件，因此在數學教學中，數學教師要注重培養學生良好的思維品質，這對提高數學教學質量有著十分重要的意義。本文作者結合教學實踐，從理清概念的內涵和外延、強化數學語言訓練、展示結論得出過程、重視數學解題教學等方面闡述了有效培養學生思維深刻性的問題。

關鍵詞： 思維品質 培養深刻性

數學是思維的“體操”，學生學習數學知識并解決數學問題的過程，就是一個思維活動的過程。要培養學生的數學能力，就必須培養學生的思維能力。人們往往從培養學生的思維品質入手去培養學生的思維能力。數學思維品質是評價和衡量學生思維能力的重要標志。學生如果有良好的數學思維品質，就更能積極主動地進行思考，解決問題更有創造性。新課程改革要求數學教學必須提高學生綜合應用知識的能力和培養學生良好的思維品質。思維的深刻性是重要的數學思維品質。它是指在思維活動中能全面深入地思考問題，善于進行抽象概括，能夠透過事物的表面現象，洞察到事物的本質，把握住問題的核心，認識其發展規律，并掌握其應用途徑。新課標強調：“在解決問題過程中，能進行有條理的思考，能對結論的合理性作出有說服力的說明。”這說明了思考是內在的深刻的本質的關系。中學數學思維的深刻性，往往表現在對定義、公式、法規、定理的實質及知識之間相互關系的認識水平上，它反映了思維活動中對事物認識的程度，是數學思維個性品質中智力的品質的重要表現之一。在實際數學教學中，人們對思維的深刻性是較為重視的，因為它的確是思維品質的核心。那么，應該怎樣有效地培養學生思維的深刻性呢？

一、分析概念的形成結構，理清概念的深刻內涵和外延

概念是反映客觀事物本質屬性的一種思維形式，它是在感知的基礎上，通過分析、比較事物屬性的異同，然后抽象而成的。因此，概念是抽象的結果，概念的形成過程，充分體現了思維活動的抽象程度。重視概念的形成過程，分析概念的形成結構，理清其內涵和外延，可逐步培養學生透表及里的抽象能力，增強思維的深刻性。例如在學習反比例函數的圖像時，因為之前已學過一次函數的畫法，我讓學生獨立完成反比例函數y= 的圖像；很多的學生會把雙曲線與坐標軸畫成了相交，也會有學生不知道怎么處理，在此被卡住了，教師應善于幫助學生解開這一問題：此時不妨問，若圖像與x軸相交，則說明了什么？若圖像與y軸相交，則又說明了什么？學生通過提示，知道x≠0，y≠0，所以y= 圖像不可能與坐標軸相交，再問圖像會過第四象限嗎？相信學生能給出正確的答案。從中我們可以看出學生對數學定義，性質都能朗朗上口，但是對于定義、性質卻沒有仔細地分析和研究，或者說對于某些字、詞的理解不深，只注重表面現象，因而要盡可能地引導學生不被事物的表面現象迷惑，要抓住問題的核心，思考事物的本質，學會全面認識事物，這樣就能發展思維的深刻性。

再如剖析“線段的垂直平分線”的定義時，我們應該著力分析這一概念的形成結構，讓學生真正理解它的內涵：（1）它是一條直線；（2）這條直線過線段的中心；（3）這條直線垂直于這條線段。其中（1）指出了它“是什么”圖形，（2），（3）指出了它是“怎樣的”圖形。在此基礎上，還要舉例明確其外延，如讓學生回答“過線段中點的直線一定是線段的垂直平分線嗎？”“和線段垂直的直線一定是線段的垂直平分線嗎？”“一條線段的垂直平分線有多少條？”等問題，讓學生在辨析中加深理解，使其深刻認識其本質特征。

二、注重語言載體作用，強化深刻的數學語言訓練

《新課標》指出：“清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據；在與他人交流的過程中，能運用數學語言合乎邏輯地進行討論與質疑。”數學語言與數學思維是緊密聯系的。數學問題是靠數學語言來思考和表述的。由此看來，語言是思維的結果，但語言又反作用于思維，準確的語言可導致思路的清晰和思維結果的正確性，如果能在平常養成語言準確嚴密的習慣，勢必能促進思維的深刻性。因此，把數學語言作為培養思維深刻性的載體，引導學生正確地使用數學語言，這是培養學生數學思維深刻性的一項重要措施。在這方面可采用兩種方法：

一是經常結合教材，對數學語言的準確性作典型的對比分析與論述，讓學生理解語言準確化的必要性。如結合實例讓學生區別“乘方”與“冪”、“數”與“數字”、“相似”與“全等”、“正數”與“非負數”、“不全為零”與“全不為零”、“方程的解”與“解方程”、“平方的和”與“和的平方”、“直角”與“90°”、“π”與“3.14159”等，讓它們在辨析對比中加深對有關概念和命題論述的理解，以言之有理、言之有據來體驗思維的深刻性。

二是結合實例讓學生進行準確性評議的訓練。如讓學生改寫題目、作業圖形、完善地答題、改正錯誤等，引導學生正確地使用數學語言，以培養學生思維的準確與深刻。如有題目：“一塊長比寬多6米的矩形場地，四周開一條3米寬的道路，而場地所剩下面積與道路的面積恰好相等，求場地的長和寬。”為了讓學生進行將實際問題語言“翻譯”為數學語言的訓練，對題解的途徑，可以引導學生作如下描述：如果設場地的寬為m，那么它的長可由假設給出。因路寬為3米，那么道路的面積即可標出，同時所剩場地的長、寬都可標出，繼之可將所剩場地的面積標出。這樣由題設給出的等量關系便可建立方程。接著再要求學生寫出具體的解答步驟。

學生的表述和解答，表明學生能正確理解題意，能正確地將實際問題語言“翻譯”為數學語言，且每步思維和運算都有依據，思考問題細致，邏輯性強……這些正是通過準確語言體現思維深刻性的具體表現。

三、展示結論的得出過程，讓學生深刻理解結論的實質

《新課標》指出：“義務教育階段的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展。它不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際間題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”數學中的定理、公式、法則，是具有結論性的內容，它們與數學概念一起構筑起數學大廈。在數學過程中，注重結論的得出過程，讓學生展示結論的來龍去脈，讓他們掌握結論的實質，這對于加深知識印象、牢固掌握基礎知識、增強思維的深刻性將是大有裨益的。

如在“有理數加法法則”的教學中，筆者曾做過這樣的比較：在一個班級直接將結論告訴學生，然后即令學生做題，結果學生雖對法則背得滾瓜爛熟，但做起題來仍然舉步維艱，思維受阻，錯誤率高。在另一個班級，注重法則的得出過程，將正、負數分別看作班級贏、輸球的個數，零表示不輸也不贏，被加數、加數分別表示上、下半場贏輸球的個數，和表示全場輸贏球的個數。在這種實際背景下，讓學生通過：（+5）+（+7），（+5）+（-7），（-5）+（+7），（-5）+（+7），（+5）+0，（-5）+0，0+（-5），0+0這樣一組題目，自己總結出加法法則。結果學生做題，思路暢通，準確率高。事實說明結論的得出過程比結論的本身重要。只有把結論的得出過程展示給學生，學生才能真正理解結論的實質，在運用中可以思路開闊、游刃有余。

四、重視數學解題教學，引導學生深入思考

一個人數學思維的深刻程度，在解題中的表現是很充分的。思維深刻的人能深刻地把握題意，從中捕捉大量的信息，及時溝通信息間的內在聯系，從而找到解題途徑。而思維不深刻的人，他們或者不能發現題目中的全部信息，或者面對一大堆信息，分不清層次，找不到它們內在聯系而不能正確地解決問題。為此，教師應重視題解教學，應用解題的機會，教會學生捕捉題目中的全部信息，探索信息間的聯系，揭示間題的本質，找尋解題的途徑，以達到訓練思維深刻性的目的。在這方面，可采取如下措施：

（一）注重題目隱含條件的挖掘，引導學生全面思考。

隱含條件是指問題中那些若明若暗、含而不露的已知條件，它往往需要對問題進行深入分析和深刻理解方能明朗化。隱含條件的發掘，可引導學生全面思考問題，是對思維深刻性的很好鍛煉。

例如：在題目“解方程 + =0”中隱含條件：x -5x+4，x-4=0，利用這一條件，方程極易求解。如按無理方程的一般解法則要繁瑣得多。

對于題目“已知一直角三角形邊長是整數，且周長的數值等于這個三角形面積的值，求三邊的長”。邊長為整數這一條件雖已給出，但卻有一定的隱蔽性。當學生在求解中設出三邊分別為a，b，c。且列出：

a +b +c …………………（1）a+b+c= ………………（2）

往下卻頗感困難。教師可點撥學生：由（2）得

c= -a-b，代入（1）可得a=4+ 。

提問：由a，b為整數，你可得出什么？教師的點撥使學生豁然開朗。

（二）采用變題手段引導學生深入思考。

利用習題的潛在智慧，巧妙地改變習題，恰當地對習題進行演變、引申和拓廣，這不但能誘發學生的求解欲望，而且能訓練學生的思維能力，引導他們對問題作出深人思考，以培養他們思維的深刻性。

如在“十字相乘法分解因式”的教學中，可以對問題“分解因式”：

（1）2x -5x-12（2）2x -5xy-12y （3）2（m -n） -5（m -n）-12

（4）2a -5a b -12b （5）（x+y） -5（x+y）（2x-y）-12（2x-y）

通過對上述變化了的問題的求解，意在引導學生由淺入深、由表及里、由簡單到復雜，層層加碼，一步步認識因式分解的本質及十字相乘法分解因式的規律，同時也培養他們由淺入深、由表及里的思維習慣。

（三）特例反駁，辨導對比，引導學生深入思考。

習題教學中，經常引導學生研究含于問題中的特殊情況，特別通過特例反駁、辨異對比的手段，從正反兩面引導學生思考，使之臻于完善。

如解方程（a-b）x +（b-c）x+（c-a）=0時，學生往往直接運用求根公式得出x =1，x = ，這時教師可舉例反問：“當a=b時，x 還有意義嗎？”教師的反問可馬上提醒學生：應分a=b，a≠b兩種不同情況加以討論。

又如化簡|7+x|＜0，x＜-7時，有的學生一看是沒有出現“負”，以為是正數，就這樣做：原式=7+x。針對學生的錯誤做法，教師首先寫出正確答案：

原式=|7+x|，①當7+x≥0，即x≥-7時，原式=7+x。②當7+z＜0即x＜-7時，原式=-（7+x）=-7-x。

然后要求學生從對比中找到錯誤的原因，由于教師引導學生從辨導對比中作出了深刻思考，不少學生驚訝地發現：

=|a|

a（a≥0）-a（a＜0）

五、注重總結歸納，深入挖掘一般規律

學習一章或單元之后，教師應引導學生認真進行歸納總結。其目的，一是為了將知識歸納成系統便于記憶，二是讓學生進一步認識該部分知識之間的內在聯系及其規律，并從中悟出新知識或新的數學方法，以達到增強思維深刻性的目的。

如在學完“平行四邊形、三角形、梯形面積”之后，可引導學生將它們的面積公式歸納為S=0.5（a+b）h。總結歸納出的這一統一面積公式，不僅便于記憶，更重要的是引導學生對這幾種圖形之間的內在聯系作出深刻思考。

再如學過“一元二次方程根與系數之間的關系”之后，可引導學生思考：如果x 、x 為不相等的二實數。且已知x +x =m，x #8226;x =n，那么以此為假設，你能設計什么題目？顯然，教師的引導是讓學生對韋達定理的應用作出深刻的思考和探索。結果學生總結歸納出了韋達定理的4種應用。顯然，學生的探索過程，既是一個創造的過程，更是一個深入思考的過程。

總之，數學教學的本質是“思維過程”。重視思維過程的教學，更應重視思維的深刻性。強化學生顯示思維的深刻性意識，不僅有利于增長學生的才干，發展學生智能，培養能力，而且對于優化學生的思維品質，提高數學素質，都有十分重要的意義。

參考文獻：

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”