一道競賽題證法再探究

摘要: 本文對一道內(nèi)含豐富且具有探究價值的數(shù)學競賽題進行了再探究，并給出幾種不同的證明方法#65377;

關鍵詞: 競賽題 證法 探究

《中學數(shù)學教學參考》2008年第7期(上半月#8226;高中)刊登了2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽陜西賽區(qū)預賽第二式第五題:

如圖1，AB是半圓O的直徑，C是 的中點，M是弦AC的中點，CH⊥BM，垂足為H#65377;求證:CH =AH#8226;OH#65377;

參考答案中給出了一種證法，呂建恒老師在文獻中又給出了八種證法，筆者通過研讀與探究再給出四種證法#65377;

證法一:如圖2，連結OC，BC，OM#65377;

∵CH⊥BM，CO⊥AB#65377;

∴O#65380;B#65380;C#65380;H四點共圓#65377;

∴∠BHO=∠BCO=45°，∠OAM=45°，

于是O#65380;A#65380;M#65380;H四點共圓，

故∠OHA=∠OMA=90°，

在Rt△BMC中， = = = ，

∴MH= CH，BH=2CH#65377;

又O，M分別為AB#65380;AC的中點，

則有S =S =2S ，

即BH#8226;CH=2AH#8226;OH#65377;

∴CH =AH#8226;OH#65377;

點評:本證法充分考慮點H的特點(MH= CH，BH=2CH)，結合面積使問題得以解決#65377;

證法二:如圖3，延長BM#65380;AH分別交半⊙O于點D#65380;E，連結AD#65380;BE#65377;

由證法一知∠MHA=45°，且H點為AE的中點，

所以△ADH與△BEA皆為等腰直角三角形#65377;

∴△ADH∽△BEA，

由此得 = ，即 = ，

∴CH =AH#8226;OH

點評:本證法構造了兩個相似等腰直角三角形，利用“媒介”線段過渡使問題得證#65377;

證法三:如圖4，連結OM，OC，BC#65377;易證O#65380;B#65380;C#65380;H四點共圓，且O#65380;H#65380;M#65380;A四點共圓，在上述二圓內(nèi)由托勒密定理得到:

CH#8226;OB+OH#8226;BC=BH#8226;OC#65377;①

OH#8226;AM+MH#8226;OA=AH#8226;OM#65377;②

又BH=2CH，MH= CH，OB=OC=OA，AM=OM= OA，BC= OB#65377;

由①得CH#8226;OB+OH#8226; OB=2CH#8226;OB，即CH= OB#65377;③

由②得OH#8226;OM+ CH #8226; OM=AH#8226;OM，即2OH+ CH=2AH#65377;④

由③與④可得CH =AH#8226;OH#65377;

點評:考慮圓內(nèi)接四邊形，借用托勒密定理從而使問題得解#65377;

證法四:如圖5，延長AH交半⊙O于點E，取BH中點G，連結OG#65380;EG#65380;EC#65380;EB，

又∠AEC=∠ABC=45°，由證法一，OH⊥AE，且∠EHG=∠MHA=∠OHG=45°，CH= HB=HG，

∴CHGE與OHQG都是正方形#65377;

∴CH =HE#8226;HQ=AH#8226;OH#65377;

點評:該證法揭示了三線段CH#65380;AH#65380;OH之間的幾何意義:以CH為邊長的正方形對角線#65380;半對角線分別是AH和OH#65377;

本題中H點的位置也很特殊:(1)H點是MB的一個五等分點;(2)H點是DB的一個三等分點(見圖6)#65377;由此還可產(chǎn)生很多結論，在此不作贅述#65377;

挖掘題目的內(nèi)在聯(lián)系，圍繞一定的教學目的，對某些典型的題目進行一題多解或一題多變的探究，對培養(yǎng)學生的思維能力和創(chuàng)造能力是有積極意義的#65377;

參考文獻:

[1]呂建恒.一道競賽題證法探究[J].中學數(shù)學教學參考(上半月#8226;高中)，2008，8.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”