例說差異分析法在三角變換中的應用

我們在解題時常常會碰到題目的條件與結論間在其形式#65380;結構#65380;圖形或數字上存在著差異，我們解決數學問題實際上就是在題目的已知條件和待求結論中架起聯系的橋梁，也就是在分析題目中已知與待求之間差異的基礎上進行分析，化歸和消除這些差異#65377;當然在這個過程中也反映出對數學基礎知識掌握的熟練程度#65380;理解程度和數學方法的靈活應用能力#65377;本文通過數例，闡述差異分析法在求解三角問題中的具體應用，旨在引起讀者的關注，從而強化學生在解題時觀察問題的意識，提高分析問題#65380;解決問題的能力#65377;

1.角的差異分析

例1.已知sin( -x)= ，(0

分析:容易看出，已知與所求之間的差異主要是已知角 -x與所求角2x， +x間的#65377;消除角差異的方法有兩種:一是將所有的復角都變為單角，再尋求聯系;二是挖掘已知與未知間的聯系，發現 -x= -( +x)，2x= -2( +x)，可將未知角向已知角靠攏#65377;兩種思路都能走得通，本文給出第一種思路的解法#65377;

解:∵ = = (cosx+sinx)

由已知sin( -x)= (cosx-sinx)= ，

即(cosx-sinx)= ?圯2cosxsinx=

∴(cosx+sinx) =1+2cosxsinx=

又00

∴cosx+sinx=

∴原式= (cosx+sinx)=

評注:三角函數中給條件求值的問題，如何充分利用條件，是解好此類問題的關鍵#65377;充分注意到待求角與已知角間的差異與聯系，便是決定解題成敗的關鍵#65377;

2.函數名的差異分析

例2.求證: = sin2α#65377;

分析:觀察知，等式左右兩邊的差異反映在角#65380;函數名稱#65380;次數#65380;結構四個方面，從其某一方面入手，逐漸消除差異就可得到不同的證法#65377;

證明:從函數入手，化切為弦，以右式為目標，對左式進行變化#65377;

左式= = = = sin2α=右式

故原式成立#65377;

評注:本題此外也可從角入手，都化為α，右式易變形為 sinα#8226;cosα，以此式為目標變形左式;或從次數入手，右式為目標，對左式進行將次，本文不再贅述#65377;由于三角恒等式的證明的方法較多，因而從不同的角度去證明同一問題，并從中比較出較優的證法，可以提高恒等變形能力#65377;

3.次數的差異分析

例3.(07陜西卷17)已知函數f(x)=2sin cos -2 sin+ #65377;

(Ⅰ)求函數的最小正周期及最值;(Ⅱ)(略)#65377;

分析:先將三角函數式降次化為標準式#65377;

解:(Ⅰ)Qf(x)=sin + (1-2sin)=sin + cos =2sin +

∴f(x)的最小正周期T= =4π.

當sin + =-1時，f(x)取得最小值-2;當sin + =1時，f(x)取得最大值2#65377;

評注:研究三角函數周期#65380;最值#65380;單調性等性質時，常常通過恒等變形將函數轉化為基本三角函數類型或y=Asin(ωx+φ)等形式，通常要降次或升冪以達到統一次數的要求進行化歸#65377;

從以上幾例可以發現，在進行三角函數的化簡#65380;證明#65380;求值變換中，我們解題的關鍵就是在熟記三角公式的前提下對角#65380;函數名及運算結構進行差異分析，然后利用公式建立差異間的聯系，而在整個解題過程中，既要注意把握變換的方向，又要熟悉變換的方法，還要恰當運用某些變換技巧#65377;

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”