小調整 大收效

摘要： 數學解題的過程，是將我們面臨的數學問題的結構與我們已經獲得了的結構相比較，調整合同的過程。其中調整是至關重要的一步，本文試圖從調整問題的結構以適應固有的知識結構與調整固有的結構以適應問題的結構——雙向調整來達到目的。

關鍵詞： 不等式 數式結構 雙向調整

必修5（蘇教版）在利用不等式的知識點進行的課程資源開發中，只給定了一個基本不等式 ≤ （a≥0，b≥0），教育學生的目標是培養學生對具體的數式進行變形證明不等式，確定有關函數的最大值與最小值問題及其處理實際應用中的最優化問題。實際教學中，在應用這個基本不等式 ≤ （a≥0，b≥0）時，不少問題的設計與直接應用基本不等式有一定的跨度，教材的設計意圖是利用這個中間地段來培養學生通過觀察、分析、綜合等構造具體數學知識點結構的能力。

然而，在學生的實際學習中，這種中間地段的接軌是學生學習的難點，造成了學生對這段材料把握上的困難。解決這一難題有兩種方法，一是對基本不等式變形——構成運用基本知識點的數式結構，為學生搭建一座從基本不等式到學生解決具體數學本身的問題，或者是數學應用問題的橋梁；二是對于具體問題培養學生的具體解決問題的方法，這兩者都是具體的、我們已經掌握了的知識結構與我們面臨的待解決的有關問題的數式結構，利用它們的“相似性”，進行調整和構造的過程。

1.基本不等式 ≤ （a≥0，b≥0）的幾個變式及其條件的變化

變式一：a+b≥2 （a≥0，b≥0）；

變式二：a +b ≥2ab；（a，b∈R）；

變式三： +a≥2（a＞0）；

變式四： + ≥2（a，b同號）。

這幾個基本不等式的變式，可以作為學生解決數學問題的跳板或橋梁，學生在解決有關的問題時，降低了思維的強度，降低了構造知識點的垂范模式的難度，給了學生運用具體知識解題的多重選擇模式。

2.具體問題解題時應力求作好調整

在教學過程中，利用基本不等式解決具體問題時，是否引導學生對基本不等式及其變式的結構和條件的有效把握是解決問題的繁與簡、乃至問題的可解與否的決定性的因素。利用問題的可能結構和基本不等式的現實的固定結構的相似性，從而變動、調整所面臨的問題來適應基本不等式的現實固定結構，是解決有關問題的關鍵所在。事實上，這是一種雙向調整，一方面，基本不等式的變式是為了適應問題的需要已經作了一次調整，使基本不等式適應問題的能力更強；另一方面，在教學中，力求培養學生針對具體問題的數式結構的有效把握，在此基礎上，改造或調整待解決問題的數式結構，用以適應基本不等式及其變式。教學時在這方面應予以高度重視。下面舉幾個教學中的例子。

例1.［蘇教2007版，必修5（下同）P94，題8］求函數y=2-3x- （x＞0）的最大值。

分析：y=2-3x- =2-（3x+ ），然后3x+ 可以應用變式一來解決，但是，這樣對有關基礎比較差的學生可能造成表達的困難。我們可以如此考慮，將函數式的兩邊都乘以（或都除以）-1，作此調整，問題便易于表達了。

解：因為-y=3x+ -2≥2 -2，所以y≤2-4 ，

當且僅當3x= （x＞0），即x= 時取“=”，所以y =2-4 。

例2.（P94，題13）已知正數x、y滿足x+2y=1，求 + 的最小值。

分析：求和的最小值，由基本不等式知，其積應當為定值，方能利用基本不等式，我們經過怎樣的調整才能使其積為定值呢？換句話說，條件“x+2y=1”怎樣用？利用“1乘以任何數還等于任何數”來試探著調整，也就是充分利用“1”的條件，進行“1”的代換。

解：因為正數x、y，x+2y=1，所以 + =（ + ）#8226;1=（ + ）#8226;（x+2y）=1+ + +2= + +3≥3+2 =3+2 ，

當且僅當 = 且x+2y=1，即x= -1，y= 時取“=”，

所以（ + ） =3+2 。

點評：此解法的巧妙之處就在于充分利用了已知條件x+2y=1進行了“1”的巧妙變換，使式子 + 變形為符合基本不等式的現實固定結構，從而利用了基本不等式的知識和方法使問題得到了解決。

例3.設0＜x＜1，a與b同號，證明 + ≥（a+b） 。

分析：本題的實際理解是求 + 的最小值為（a+b） ，而兩項和 + 存在最小值時，若 、 之積為定值就能利用基本不等式及其變式的結構了，而這種定值在原題所給的條件中不能直接得到。于是，必須對其結構式作出調整，怎樣調整？你注意到了“x+（1-x）=1”了嗎？本例相對于例2來說，例2是直白的條件，而這里是一種隱含的條件，在進行結構的調整中，更顯困難了。

證明：因為0＜x＜1，知x＞0，1-x＞0，知 ＞0， ＞0，

所以 + =（ + ）#8226;1=（ + ）#8226;［x+（1-x）］=a + #8226;a + #8226;b +b = #8226;a + #8226;b +a +b ≥2 +a +b =2ab+a +b =（a+b） 。

當且僅當 #8226;a = #8226;b ，即x= （a、b同號）時取“=”，所以原不等式成立。

例4.設x＞0，求y= 的最大值。

分析：由x＞0，知y＞0。我們想利用基本不等式來確定y的最大值，如何進行調整方能構造出基本不等式的相關結構，你能考慮到y的倒數 嗎？

解：因為x＞0，知y＞0，所以由y= ，

得： = =x+ +1≥2+1=3。

當且僅當x= ，即x=1時取“=”，所以0＜y≤ ，

所以y = 。

利用基本不等式既定的知識點的結構，對面臨的問題的結構進行觀察、比較、甄別，從而創造出已有知識點結構是利用知識解決問題的關鍵，構造結構的過程就是不斷對已有知識點的結構與我們所面臨的待解決的問題的結構雙方不斷調整，進而相同合的過程。在數學教學中，引導學生把握好調整的過程是解決問題的關鍵。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”