例析函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化

摘要： 函數(shù)的思想就是用運動和變化的觀點分析和研究數(shù)學(xué)問題；方程思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略。函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化思想就是將數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問題，通過解方程（或方程組）或者運用方程的性質(zhì)來分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決。

關(guān)鍵詞： 函數(shù) 方程 轉(zhuǎn)化

函數(shù)是代數(shù)內(nèi)容的主干，它主要包括函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數(shù)各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和整體角度來考慮問題、研究問題和解決問題。函數(shù)思想貫穿于代數(shù)的全部內(nèi)容，它是在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的過程中逐漸形成，并為研究這些函數(shù)服務(wù)的。在研究方程、不等式、復(fù)數(shù)、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時，函數(shù)思想也起著十分重要的作用。

方程是初等代數(shù)的主要內(nèi)容。所謂方程思想，就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略，它是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎(chǔ)。

函數(shù)與方程、不等式是通過函數(shù)值等于零、大于零或小于零而相互關(guān)聯(lián)的，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。函數(shù)與方程的思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學(xué)思想。

函數(shù)與方程思想是密切相關(guān)的，函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0或看作方程y-f（x）=0；而方程f（x）=0的解是函數(shù)y=f（x）圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)。函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)y=f（x），當(dāng)y＞0時，就是不等式f（x）＞0，而求f（x）＞g（x）的解則可比較y=f（x）與y=g（x）函數(shù)圖像位置而得到。

一、構(gòu)造函數(shù)思想

例1.證明不等式ae ＞be （b＜a＜1）。

分析：由所證不等式很容易想到比商法，但a、b的正負無法確定，即使分類后，當(dāng)a、b都為正數(shù)時，其商 e 也無法與1比大小，思路受阻。再觀察不等式兩邊形式類似，稍加變形即為ae ＞be ，即可聯(lián)想到函數(shù)f（x）=xe ，就只需證f（a）＞f（b）了，利用函數(shù)單調(diào)性，問題得以巧妙解決。

證明：令f（x）=xe （x＜1），f′（x）=e （1-x）

在x∈（-∞，1）上，f′（x）＞0

則f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)

則f（a）＞f（b），即ae ＞be

所以ae ＞be 。

點評：應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，且能方便地判斷函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。

例2.已知f（t）=log t，t∈［ ，8］對于f（t）值域內(nèi)的所有實數(shù)m，不等式x +mx+4＞2m+4x恒成立，求x的范圍。

分析：我們習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量，構(gòu)造函數(shù)y=x +（m-4）x+4-2m，于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)m∈［ ，3］時，y＞0恒成立，求x范圍。但要解決這個問題要用到二次函數(shù)及二次方程的區(qū)間根原理，相當(dāng)復(fù)雜。而如果把m看作自變量，x視為參數(shù)，原不等式化為（x-2）m+（x-2） ＞0，構(gòu)造函數(shù)g（m）=（x-2）m+（x-2） 為m的一次函數(shù)，在x∈［ ，3］上恒大于0，這樣就非常簡單。

解：因為t∈［ ，8］，所以f（t）∈［ ，3］，即m∈［ ，3］，原不等式可化為m（x-2）+（x-2） ＞0恒成立。又m＞0，所以x≠2。令g（m）=（x-2）m+（x-2） 為m的一次函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為g（m）在m∈［ ，3］上恒大于0的問題，則只需g（ ）＞0g（3）＞0。解得x＞2或x＜-1，即x∈（-∞，1）∪（2+∞）。

點評：注意到本題有兩個變量x、m，且x本來為主元，但為了解題方便，把原不等式看為m的一次函數(shù)，大大簡化了運算。在多字母的關(guān)系式中，應(yīng)對參數(shù)的策略常常是“反客為主、變更主元”，重新構(gòu)造函數(shù)。

二、構(gòu)造方程思想

例3.已知 =1（a、b、c∈R），則有（ ）。

A.a ＞4bc B.a ＜4bc

C.a ≥4bc D.a ≤4bc

分析：原式變?yōu)?c- a+b=0，則 是實系數(shù)一元二次方程cx -ax+b=0的一個實根，故△=a -4bc≥0，故選C。

點評：通過簡單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點，運用方程思想使問題迎刃而解。

例4.已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，a +b +c =1則a的范圍為

。

解：由b+c=1-a平方得b +c +2bc=（1-a）

又b +c =1-a ，則bc=a -a，

由此得到啟示，b+c與bc都可用a表示，

故b、c是關(guān)于x的一元二次方程x -（1-a）x+a -a=0的兩根。

故△=（1-a） -4（a -a）≥0，3a -2a-1≤0。

解得- ≤a≤1。

點評：當(dāng)問題出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構(gòu)造一元二次方程的明顯信號，構(gòu)造方程后再用方程特點可使問題巧妙解決。

三、函數(shù)方程統(tǒng)一思想

例5.已知三次方程x -6x+（1-m）=0恰有三個相異實根，求實數(shù)m的范圍。

分析：方程f（x）=0的根，即函數(shù)y=f（x）圖像與x軸交點橫坐標(biāo)，由題意函數(shù)y=x -6x+（1-m）應(yīng)與x軸有三個不同交點，因三次曲線連續(xù)且光滑，故只需函數(shù)極大值與極小值異號即可。

解：令f（x）=x -6x+（1-m）

則f′（x）=3x -6

令f′（x）=0，得x=±

為使y=f（x）與x軸交于不同的三個點。

只須f（ ）#8226;f（g ）＜0

即1-4 ＜m＜1+4 。

點評：方程函數(shù)互相轉(zhuǎn)化，為得到方程根的情況，用函數(shù)圖像特點，特別用導(dǎo)數(shù)法求得極值點，用限制極值的方法使圖像穿x軸三次，問題解決。利用函數(shù)圖像交點個數(shù)及交點位置，使方程滿足其根的某限制條件，是最常見的方程與函數(shù)統(tǒng)一的思想，借助圖像特點，能直觀又準(zhǔn)確地看到方程根的情況。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”