例析函數與方程的相互轉化

摘要： 函數的思想就是用運動和變化的觀點分析和研究數學問題；方程思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略。函數與方程的相互轉化思想就是將數學中的函數問題轉化為方程或方程組問題，通過解方程（或方程組）或者運用方程的性質來分析、轉化問題，使問題得以解決。

關鍵詞： 函數 方程 轉化

函數是代數內容的主干，它主要包括函數的概念、圖像和性質。函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數各部分內容的內在聯系和整體角度來考慮問題、研究問題和解決問題。函數思想貫穿于代數的全部內容，它是在學習指數函數、對數函數及三角函數的過程中逐漸形成，并為研究這些函數服務的。在研究方程、不等式、復數、數列、解析幾何等其他內容時，函數思想也起著十分重要的作用。

方程是初等代數的主要內容。所謂方程思想，就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略，它是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎。

函數與方程、不等式是通過函數值等于零、大于零或小于零而相互關聯的，它們之間既有區別又有聯系。函數與方程的思想，既是函數思想與方程思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現，是研究變量與函數、相等與不等過程中的基本數學思想。

函數與方程思想是密切相關的，函數y=f（x），當y=0時，就轉化為方程f（x）=0或看作方程y-f（x）=0；而方程f（x）=0的解是函數y=f（x）圖像與x軸交點的橫坐標。函數與不等式也可以相互轉化，對函數y=f（x），當y＞0時，就是不等式f（x）＞0，而求f（x）＞g（x）的解則可比較y=f（x）與y=g（x）函數圖像位置而得到。

一、構造函數思想

例1.證明不等式ae ＞be （b＜a＜1）。

分析：由所證不等式很容易想到比商法，但a、b的正負無法確定，即使分類后，當a、b都為正數時，其商 e 也無法與1比大小，思路受阻。再觀察不等式兩邊形式類似，稍加變形即為ae ＞be ，即可聯想到函數f（x）=xe ，就只需證f（a）＞f（b）了，利用函數單調性，問題得以巧妙解決。

證明：令f（x）=xe （x＜1），f′（x）=e （1-x）

在x∈（-∞，1）上，f′（x）＞0

則f（x）在（-∞，1）上為增函數

則f（a）＞f（b），即ae ＞be

所以ae ＞be 。

點評：應用函數性質證明不等式，關鍵在于構造一個適當的函數，且能方便地判斷函數的有關性質。

例2.已知f（t）=log t，t∈［ ，8］對于f（t）值域內的所有實數m，不等式x +mx+4＞2m+4x恒成立，求x的范圍。

分析：我們習慣上把x當作自變量，構造函數y=x +（m-4）x+4-2m，于是問題轉化為：當m∈［ ，3］時，y＞0恒成立，求x范圍。但要解決這個問題要用到二次函數及二次方程的區間根原理，相當復雜。而如果把m看作自變量，x視為參數，原不等式化為（x-2）m+（x-2） ＞0，構造函數g（m）=（x-2）m+（x-2） 為m的一次函數，在x∈［ ，3］上恒大于0，這樣就非常簡單。

解：因為t∈［ ，8］，所以f（t）∈［ ，3］，即m∈［ ，3］，原不等式可化為m（x-2）+（x-2） ＞0恒成立。又m＞0，所以x≠2。令g（m）=（x-2）m+（x-2） 為m的一次函數，問題轉化為g（m）在m∈［ ，3］上恒大于0的問題，則只需g（ ）＞0g（3）＞0。解得x＞2或x＜-1，即x∈（-∞，1）∪（2+∞）。

點評：注意到本題有兩個變量x、m，且x本來為主元，但為了解題方便，把原不等式看為m的一次函數，大大簡化了運算。在多字母的關系式中，應對參數的策略常常是“反客為主、變更主元”，重新構造函數。

二、構造方程思想

例3.已知 =1（a、b、c∈R），則有（ ）。

A.a ＞4bc B.a ＜4bc

C.a ≥4bc D.a ≤4bc

分析：原式變為3c- a+b=0，則 是實系數一元二次方程cx -ax+b=0的一個實根，故△=a -4bc≥0，故選C。

點評：通過簡單轉化，敏銳地抓住了數與式的特點，運用方程思想使問題迎刃而解。

例4.已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，a +b +c =1則a的范圍為

。

解：由b+c=1-a平方得b +c +2bc=（1-a）

又b +c =1-a ，則bc=a -a，

由此得到啟示，b+c與bc都可用a表示，

故b、c是關于x的一元二次方程x -（1-a）x+a -a=0的兩根。

故△=（1-a） -4（a -a）≥0，3a -2a-1≤0。

解得- ≤a≤1。

點評：當問題出現兩數積與這兩數和時，是構造一元二次方程的明顯信號，構造方程后再用方程特點可使問題巧妙解決。

三、函數方程統一思想

例5.已知三次方程x -6x+（1-m）=0恰有三個相異實根，求實數m的范圍。

分析：方程f（x）=0的根，即函數y=f（x）圖像與x軸交點橫坐標，由題意函數y=x -6x+（1-m）應與x軸有三個不同交點，因三次曲線連續且光滑，故只需函數極大值與極小值異號即可。

解：令f（x）=x -6x+（1-m）

則f′（x）=3x -6

令f′（x）=0，得x=±

為使y=f（x）與x軸交于不同的三個點。

只須f（ ）#8226;f（g ）＜0

即1-4 ＜m＜1+4 。

點評：方程函數互相轉化，為得到方程根的情況，用函數圖像特點，特別用導數法求得極值點，用限制極值的方法使圖像穿x軸三次，問題解決。利用函數圖像交點個數及交點位置，使方程滿足其根的某限制條件，是最常見的方程與函數統一的思想，借助圖像特點，能直觀又準確地看到方程根的情況。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”