高中開設(shè)微積分課程的意義

［摘 要］高中開設(shè)微積分課程具有多方面價(jià)值需要，變化率思想是高中微積分課程價(jià)值的核心。高中新課程中的微積分設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了微積分課程價(jià)值的回歸，這在邊際成本等知識(shí)的教學(xué)實(shí)踐中得到顯著的反應(yīng)。需要教師課程觀的轉(zhuǎn)變和知識(shí)結(jié)構(gòu)的完善。

［關(guān)鍵詞］變化率思想 微積分

［中圖分類號(hào)］G424 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A ［文章編號(hào)］1009－5489(2009)02－0032－02

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)比過去的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，在微積

分的課程設(shè)計(jì)方面發(fā)生了重大變革，逾越了形式化極限概念的學(xué)習(xí)。在對(duì)這一重要變化的實(shí)驗(yàn)研究過程中我們發(fā)現(xiàn)，《標(biāo)準(zhǔn)》中的微積分課程設(shè)計(jì)有利于促進(jìn)學(xué)生自主探究、反思，關(guān)注學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解和對(duì)微積分思想方法的掌握，使傳統(tǒng)微積分課程中缺失的價(jià)值得以回歸。我們讓尚未學(xué)習(xí)微積分的A班級(jí)(63人)和已經(jīng)按傳統(tǒng)課程學(xué)習(xí)了微積分的B班級(jí)(59人)都分別按《標(biāo)準(zhǔn)》講授“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”，進(jìn)行課堂觀察，對(duì)授課教師及其他有講授微積分經(jīng)歷的教師進(jìn)行訪談。

一、開設(shè)微積分課程具有多層面的價(jià)值需求

“緊接著函數(shù)概念的采用，產(chǎn)生了微積分，它是繼Euclid幾何之后，全部數(shù)學(xué)中的一個(gè)最大的創(chuàng)造。”早在18世紀(jì)中葉，許多數(shù)學(xué)家就認(rèn)為，“自然科學(xué)上的任何問題，只要做到從數(shù)學(xué)上來(lái)理解，也就是說(shuō)，找到它的正確的數(shù)學(xué)描述，就可以借助于解析幾何學(xué)與微積分學(xué)而獲得解決。”時(shí)至今日，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的思想和方法，掌握解決變量問題的基本工具，并為高中生將來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他科學(xué)奠定基礎(chǔ)，是人們基本認(rèn)同的高中開設(shè)微積分課程的核心價(jià)值所在。

另外，微積分的數(shù)學(xué)文化含量是非常厚重的，也是《標(biāo)準(zhǔn)》所強(qiáng)調(diào)的。學(xué)生反映，他們通過學(xué)習(xí)微積分進(jìn)一步懂得了數(shù)學(xué)發(fā)展與社會(huì)發(fā)展之間的密切關(guān)系，看到了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性，更深刻地感受到了牛頓和萊布尼茨等人的歷史貢獻(xiàn)和科學(xué)精神。授課教師專門強(qiáng)調(diào)到，他們二人的貢獻(xiàn)就是面對(duì)前人的浩翰工作，敏銳地從紛亂的猜測(cè)、不成熟描述中，抽取出合理的、有價(jià)值的“碎片”，再靠自己的勇氣和想像力把這些“碎片”拼接成美麗的數(shù)學(xué)體系。當(dāng)然，這些工作都是建立在知識(shí)積淀和獨(dú)立思想基礎(chǔ)上的，有關(guān)牛頓學(xué)習(xí)和研究的眾多感人的故事

就是很好的詮釋。

二、高中微積分課程的核心價(jià)值是變化率思想

高中微積分課程教育價(jià)值的核心體現(xiàn)在哪里？怎樣設(shè)計(jì)？傳統(tǒng)高中微積分課程設(shè)計(jì)的鏈條是：“數(shù)列—數(shù)列極限—函數(shù)極限—函數(shù)連續(xù)—導(dǎo)數(shù)—微積分—導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用—不定積分—定積分”。這種設(shè)計(jì)的邏輯結(jié)構(gòu)非常嚴(yán)密，實(shí)際上是高等數(shù)學(xué)微積分課程設(shè)計(jì)的“縮編”或者簡(jiǎn)單的下放。這種設(shè)計(jì)能反映高中開設(shè)微積分課程的核心價(jià)值嗎？《普通高中課程改革方案(實(shí)驗(yàn))》指出：“普通高中教育是在九年義務(wù)教育基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高國(guó)民素質(zhì)、面向大眾的基礎(chǔ)教育。”鑒于此，《標(biāo)準(zhǔn)》明確強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)課程要“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”，“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”，“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”。所以，作為“下放”的內(nèi)容，高中微積分課程更要注重知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念，理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)、把握導(dǎo)數(shù)概念的生成所反映的思想和方法，是學(xué)習(xí)微積分的重中之重，從導(dǎo)數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展來(lái)看，變化率則是導(dǎo)數(shù)思想方法的核心，亦即中學(xué)開設(shè)微積分課程價(jià)值的核心。事實(shí)上在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，變化率的教學(xué)成為激發(fā)學(xué)生思維、建立導(dǎo)數(shù)概念的“焦點(diǎn)”。

“變化率”是抽象概念，屬策略性知識(shí)范疇。根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》設(shè)計(jì)要求，導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)主要是靠學(xué)生在已有的平均變化率知識(shí)基礎(chǔ)上的建構(gòu)。在實(shí)驗(yàn)中，86%的B班學(xué)生反映，過去學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的主要任務(wù)是“套公式，做題”，其中求導(dǎo)數(shù)題目、考察函數(shù)性質(zhì)題目是主體；對(duì)于導(dǎo)數(shù)概念的理解卻僅限于對(duì)定義的“死記硬背”，即使記不住、不理解也無(wú)所謂，因?yàn)楦呖家话阒豢几鶕?jù)公式求具體函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。結(jié)果，B班仍有13.5%的學(xué)生把導(dǎo)數(shù)理解為“某個(gè)區(qū)間上的平均變化率”；37.2%的學(xué)生認(rèn)為導(dǎo)數(shù)“太抽象，不易理解”。然而“正如牛頓所做的那樣，理解導(dǎo)數(shù)之本質(zhì)的最好方法是考慮速度。”按《標(biāo)準(zhǔn)》圍繞速度進(jìn)行導(dǎo)數(shù)教學(xué)，學(xué)生迎頭就是思維沖突，不自覺地便進(jìn)入了探究過程。

首先，學(xué)生已經(jīng)從物理學(xué)得知自由落體是勻加速運(yùn)動(dòng)，其位移是s(t)=12gt2，瞬時(shí)速度為：v(t)=gt，那么物體下落2秒時(shí)的瞬時(shí)速度為2g。換個(gè)角度從平均速度進(jìn)行逼進(jìn)也可獲得此結(jié)論。教師讓學(xué)生觀察不同時(shí)間間隔上的平均速度：［1，2］上的平均速度是(12－22)g2(1－2)=3g2，依此類推，［32，2］上的平均速度是7g4，［53，2］上的平均速度是11g6，［74，2］上的速度是15g8，…，［2－1n，2］上的平均速度是2－12ng。顯然，當(dāng)時(shí)間間隔越來(lái)越小時(shí)，平均速度也就越來(lái)越接近2秒時(shí)的瞬時(shí)速度──2g。

在實(shí)驗(yàn)中對(duì)這一過程A、B班學(xué)生都比較容易接受。但是，一般的非勻速運(yùn)動(dòng)是不會(huì)這么有規(guī)律的，那么它的瞬時(shí)速度怎么求出呢？

教師給出學(xué)生一個(gè)具體的問題情景：一學(xué)生百米撞線時(shí)的速度是多少？在A班，學(xué)生1：“不知道加速度”；學(xué)生2問到：“是勻加速嗎？”……大家議論的結(jié)果：“不是勻加速”。在教師的啟發(fā)鼓勵(lì)下，學(xué)生3試探到：“用第10秒的平均速度近似代替。”教師認(rèn)為可以考慮，并問到：“怎樣更精確呢？”數(shù)個(gè)學(xué)生舉手，其中學(xué)生4答到：“取的時(shí)間間隔越小越精確。”至此，教師將事先具體測(cè)得的一系列相關(guān)數(shù)據(jù)提供給學(xué)生，學(xué)生經(jīng)過討論便得出了這個(gè)學(xué)生撞線時(shí)的瞬時(shí)速度，認(rèn)同了瞬時(shí)速度的具體存在。接下來(lái)，教師又將這一認(rèn)知過程遷移到平均變化率，再到變化率，認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)從而也就水到渠成了。B班的課堂氣氛也很熱烈，幾次出現(xiàn)傳統(tǒng)課堂上很少見到的學(xué)生與教師激烈爭(zhēng)論的場(chǎng)面。

至此，不系統(tǒng)講授數(shù)列的極限、函數(shù)的極限與連續(xù)，學(xué)生同樣也能建立導(dǎo)數(shù)的概念，而且是在相對(duì)積極的探究過程中建立起來(lái)的導(dǎo)數(shù)概念，是在解決認(rèn)知沖突的矛盾中逐漸形成的概念。一方面，瞬時(shí)速度是一個(gè)變量，而且每時(shí)每刻都在變，不能像計(jì)算平均速度那樣直接用運(yùn)動(dòng)時(shí)間去除以位移，因?yàn)樵诮o定的瞬時(shí)移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間都是0，而是無(wú)意義的。另一方面，每一個(gè)學(xué)生都承認(rèn)瞬時(shí)速度的客觀存在。《標(biāo)準(zhǔn)》的妙處就在于讓學(xué)生通過觀察一系列平均速度的逼進(jìn)變化形成思維的嬗變，升華出瞬時(shí)速度的概念，理解變化率思想。可以說(shuō)，學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)通過已有的知識(shí)框架建構(gòu)出了新的知識(shí)──導(dǎo)數(shù)概念。事實(shí)上，這也正是當(dāng)初微積分產(chǎn)生時(shí)的樸素思想和基本過程。后來(lái)，經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家不懈的努力，才使極限、連續(xù)等概念用于微積分的基礎(chǔ)，從而使微積分成為由一系列概念和邏輯結(jié)構(gòu)構(gòu)成的“全部數(shù)學(xué)中最微妙的學(xué)科”。事實(shí)上，在1872年，外爾斯特拉斯那個(gè)著名的“處處連續(xù)卻無(wú)處可導(dǎo)”的例子曾讓世人驚訝。“如果讓牛頓和萊布尼茨知道了連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，微分學(xué)將無(wú)以產(chǎn)生。”的確，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃枷胗袝r(shí)可以阻礙創(chuàng)造；那么，過于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼n程設(shè)計(jì)同樣可以喪失課程激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造的價(jià)值。因此，對(duì)高中的微積分課程來(lái)說(shuō)，我們何必去為了并不“自然”的嚴(yán)密去淡化本質(zhì)的東西呢？

三、課程價(jià)值的實(shí)現(xiàn)需要教師課程觀的轉(zhuǎn)變和知識(shí)結(jié)構(gòu)的完善

“就一般而言，采用新的課程，對(duì)教師來(lái)說(shuō)，意味著要放棄原來(lái)熟悉的一套方法和程序，而且有些曾是很成功的做法。數(shù)學(xué)課程是相對(duì)比較穩(wěn)定的課程，尤其對(duì)于微積分來(lái)說(shuō)更是如此。當(dāng)前的高中教師在微積分教學(xué)方面已經(jīng)具有一套成熟的策略，可以說(shuō)已成為“習(xí)慣做法”。在訪談中發(fā)現(xiàn)教師普遍有一種傾向，即認(rèn)為傳統(tǒng)課程設(shè)計(jì)下的微積分學(xué)生能學(xué)會(huì)，尤其是［δ］中的極限概念僅局限于｜an-a｜和｜f(x)-a｜描述，認(rèn)知難度不大，所以，傳統(tǒng)的微積分課程設(shè)計(jì)沒必要改革。新課程中的極限設(shè)計(jì)定位于直觀認(rèn)知，活動(dòng)建構(gòu)，教師雖總感覺微積分課程設(shè)計(jì)鏈條不夠系統(tǒng)和嚴(yán)密，但實(shí)驗(yàn)證明學(xué)生卻是非常易于接受。長(zhǎng)期的教學(xué)慣性使教師默認(rèn)了微積分課程的淺層價(jià)值的惟一性，把邏輯推理和計(jì)算作為學(xué)習(xí)微積分的終極目標(biāo)，忽略了微積分思想方法層面的價(jià)值，影響了課程核心目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。課程的評(píng)價(jià)不應(yīng)簡(jiǎn)單地停留在認(rèn)知上，關(guān)鍵在于考察是否實(shí)現(xiàn)了課程的核心價(jià)值。不能將瞬時(shí)速度、變化率與導(dǎo)數(shù)建立起本質(zhì)聯(lián)系，僅僅記住了導(dǎo)數(shù)的形式上的定義，怎能說(shuō)是理解和掌握了導(dǎo)數(shù)概念呢？不能正確理解邊際概念的現(xiàn)實(shí)含義，又怎能說(shuō)是掌握了微積分的思想和方法呢？總之，教師的教學(xué)觀念和教學(xué)行為在客觀上制約著微積分教育價(jià)值的回歸。因此，實(shí)施新課程首先要轉(zhuǎn)變教師的課程觀，教師不僅要讓學(xué)生知道結(jié)果，而且要懂得結(jié)果的產(chǎn)生過程、結(jié)果的意義，感悟數(shù)學(xué)的精神、思想和方法。樹立新的數(shù)學(xué)課程觀是解決教師講授新課程感覺“別扭”的關(guān)鍵，也是樹立學(xué)生良好學(xué)習(xí)觀的基礎(chǔ)。

［參考文獻(xiàn)］

［1］施良方：《課程理論──課程的基礎(chǔ)、原理與問題》，教育科學(xué)出版社1996年版。

［2］《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》，人民教育出版社2003年版。

［3］人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室：《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書》(試驗(yàn)修訂本)，人民教育出版社2001年版。