展現概念形成過程，幫助學生理解概念

胡愛民

概念是人們對事物本質的認識，是邏輯思維的基本單元和形式。人類對外部世界的正確認識，是在概念的不斷形成、發展與完善中，在舊的概念向新的概念不斷重組、轉化和更新中實現的。所以，概念的變化與發展，反映了人類認識世界的進步和發展。

在數學學習活動中，學生從生動的直觀到抽象的思維，形成一系列數學概念，這些數學概念的真理性又返回數學實踐中接受檢驗。在這個過程中，數學概念經過了不斷的發展與變化，正是這種概念的發展與變化，使學生的認知不斷地實現“同化”與“順應”，認知結構不斷重組、優化，學生的思維得到進步和發展。

在數學教學中，教師要正確把握概念表現出的不同方面，充分展現概念的形成過程，從而幫助學生真正地理解概念。

一、動手操作中展現概念形成過程，幫助學生自主建構概念。

學生數學學習的過程是一個建立在經驗基礎上的主動建構的過程，而且小學生的思維處在具體運演階段，其對于概念的理解是建立在直觀形象的基礎之上的，所以在數學概念教學中，教師必須給學生充分動手操作的機會，在動手操作中展現概念的形成過程，讓學生親身經歷數學概念形成過程中形象而生動的性質，充分展現概念發生、發展、形成的過程；讓學生充分經歷“個性化”的定義過程，以便使學生對概念的自主建構和真正理解成為可能。

例如長方體的長、寬、高的概念的形成過程。

首先，學生動手操作，利用小棒和橡皮泥制作一個長方體，其棱(小棒)和頂點(橡皮泥)一目了然。

其次，引導學生思考：如果我們拿掉其中的一根小棒，還能看出這個長方體的大小嗎?學生拿掉其中一根小棒后發現，根據剩下的11條棱，我們仍然能夠看出長方體的大小。

再次，引導學生思考：最多可以拿走多少根小棒，最少剩下哪幾根小棒，我們仍然可以看出長方體的大小?讓學生想一想，試一試。

最后，學生通過動手實踐后發現，最多拿走9根小棒，剩下相交于同一個頂點的3根小棒后，仍然可以確保我們看出一個長方體的大小。

這樣，長方體的長、寬、高的概念便水到渠成地得出。此時概念的獲得過程是學生自主建構概念的活動過程，原本抽象的數學概念在學生的動手實踐中得以自主建構，概念的形成更加外顯，概念的獲得更加鮮活，概念的抽象變得形象，概念的理解更加深刻。

二、反面例證中展現概念形成過程，幫助學生全面認識概念。

沒有比較就沒有鑒別。一個數學概念在學生頭腦中初步形成之后，如果缺少相應的“變式”的理解，將會是模糊的、不全面的。只有通過正面的強化理解與反面的對比認識的互相溝通，讓學生的思維經歷從“立”到“破而后立”的螺旋式上升的認識過程，才能真正幫助學生建立起對數學概念的深刻理解。同時幫助學生在理解概念的基礎上，進一步溝通核心概念及其相關概念的聯系，起到舉一反三、觸類旁通的學習效果。

例如三角形的概念的形成過程。

首先，讓學生準備好各種平面圖形卡片(如圖1)，引導學生思考：將所有這些圖形分成幾類，你會怎么分?為什么?學生能夠容易地得到：可以將三角形單獨分為一類，因為它們都是有三條線段的圖形。

其次，針對“三條線段”的圖形，我們可以出示反例(如圖2)：這兩個圖形也是由三條線段組成的，它們是三角形嗎?為什么?學生意識到，三角形不僅僅是由三條線段組成，而且是由三條線段圍成的。

再次，針對“三條線段圍成”，我們進一步出示反例(如圖3)：像這樣，由三條線段圍成的圖形是三角形嗎?很顯然，這時的三條線段沒有首尾相連，因而組成的圖形不是三角形。

最后，為了強調“首尾相連”，我們可以繼續出示反例(如圖4)：像這樣，你認為它們是不是符合首尾相連的要求，是三角形嗎?這時，學生會認識到，三條線段沒有全部首尾相連，還有一個缺口，沒有封閉。

通過反例，激起學生認知沖突，促使學生在層層遞進的矛盾解決中建立起數學概念，豐富對數學概念的理解，形成對數學概念全面、深刻的理解。

三、概念限制中展現概念形成過程，幫助學生逐步抽象概念。

我們可以通過概念的限制，把一個外延較大而內涵小的概念逐步豐富變化為一個外延小而內涵豐富的新的概念。概念的限制過程就是一個強抽象的過程，它立足于已有概念，引入新的特征或條件得到新的概念，使新的概念成為原概念的一個特例。概念的限制過程既展示了概念的逐步抽象過程，又向學生滲透了獲取知識的方法。

如“因數”、“公因數”、“最大公因數”等概念的認識過程。

從學生的認知規律和知識的邏輯體系考慮，我們首先學習了“因數”的概念，此時學生能夠求出一個數的因數。在此基礎上，我們就可以求出兩個或更多數的因數，其中它們共有的因數即為“公因數”。這時的“公因數”的概念就是利用概念的限制，縮小了“因數”概念的外延得到的一個新的概念。同理，我們繼續縮小“公因數”概念的外延，將“公因數”限制在“最大”的條件內，得到“最大公因數”的概念。

因為概念的限制過程注重將未知轉化為已知，由已知得到未知，立足原有知識經驗基礎，所以，利用概念的限制來獲得和認識新的概念，知識發展脈絡會更順暢，認識過程會更符合學生學習的心理特點和認知規律。

四、類比推理中展現概念形成過程，幫助學生形象理解概念。

類比推理是根據兩個對象具有某些相同的屬性。其中有一個對象還有另外某個屬性，從而推論出另一個對象也可能具有這個屬性。它是一種根據事物的相同點，從已知到未知，探求新知識的方法，非常便于學生發現、理解和生成新的數學概念，擴大認識成果，啟發學生認知。

例如在教學“梯形”概念時，“只有一組對邊”和“一組對邊”有何不同，學生理解起來十分困難。如何幫助學生理解呢?

首先，引導學生比較“老師會用筷子吃飯”和“老師只會用筷子吃飯”這兩個句子有什么不同?學生認識到，“會用筷子吃飯”就是說老師除了會用筷子吃飯外，還能夠用其他的東西吃飯，比如勺子、叉子等等，而“只會用筷子吃飯”就是說老師除了筷子，就不會用其他的東西吃飯。這樣，學生在熟悉的生活情境中，理解了“有……”和“只有……”的區別。

其次，理解“梯形”的概念，并把它與“平行四邊形”的概念進行對比。有了前面的鋪墊，學生認識到，梯形和平行四邊形都有兩組對邊，但是平行四邊形的兩組對邊都要平行，而梯形的兩組對邊中，只有一組對邊平行。另一組對邊不平行。另有學生補充，如果不強調“只有一組”的話，那兩組對邊平行時我們也可以說其中有一組對邊平行。這樣，學生對于梯形的概念有了更明確的認識。

為了認識和解釋某些數學概念，我們往往可以找出另一種和它相似的事實或原理，然后通過類比推理進行說明。類比推理可以把未知的變成已知的、深奧的變成淺顯的，這有利于學生根據數學概念之間的相似點去認識新的數學概念，有利于啟發學生思維，起到舉一反三、觸類旁通的學習效果。