談數學思想在解題中的運用

梁清建

【摘 要】數學思想方法是中學數學教學的重要內容之一。數學教學必須要重視對學生數學思想的培養，要確立數學思想的主體地位，進而培養和提高學生合理、正確地應用數學思想分析和解決問題的能力，以及提高學生的創新精神。

【關鍵詞】數學思想 解題 方程思想

數學思想較數學基礎知識有更高的層次和地位，它蘊含在數學知識發生、發展和應用的過程中，是一種數學意識，屬于思維的范疇，用以對數學問題的認識、處理和解決。

每一種數學思想與方法都有它們適用的特定環境和依據的基本理論，讓學生認識一種數學思想對解決什么問題有效，從而培養和提高學生合理、正確地應用數學思想分析和解決問題的能力。筆者現就初中數學中常用的數學思想談幾點粗淺的認識。

一、方程思想的運用

所謂方程思想，就是從分析問題的數量關系入手，通過設定未知數，把問題中的已知與未知量的數量關系，轉化為方程或方程組等數學模型，然后利用方程的理論或方法，使問題得到解決。用方程思想分析、處理問題，思路清晰，靈活、簡便。

用方程思想的核心是揭示題目中隱含的數量關系，設未知數、構造方程，溝通已知與未知的聯系，從而使問題得到解決。

二、數形結合的思想運用

數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學?！皵怠迸c“形”是數學中的兩個最基本的概念，每一個幾何圖形中都蘊含著一定的數量關系；而數量關系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀的反映和描述，所以數形結合也就成為研究數學問題的重要思想方法。也就是說教師、學生都要投入到教學活動中來。學生的參與尤其重要，如果沒有學生的積極參與，這樣的教學活動絕不會是成功的。如定理教學是數學教學的重點。如何使學生發現定理的形成過程、定理證明思維來歷，特別是輔助線的添加方法一直是教學中研究的重點。

在《三角形中位線定理》一節課的教學中，我們運用計算機輔助教學手段，采用《幾何面板》軟件，給學生創設了一個理想的情境，所畫的三角形可以任意變化，（體現定理對于任意三角形都成立）可測算出一組同位角始終相等，中位線的長是第三邊長的一半。學生經過對圖形的觀察很容易得到定理的結論。定理的證明實質是經過平移變換或旋轉變換，將三角形圖形轉化為平行四邊形而證明的。（幾何畫板）能很好地演示上述過程。所以，定理的證明思路、輔助線的添加方法都顯得十分自然。在教師的引導下，學生積極地參與，整個教學過程是學生的思維步步深入的過程，達到了理想的教學效果。

數形結合的思想，就是把問題中的數量關系和空間形式結合起來加以考察的思想。在解題方法上，“數”與“形”相互轉化，從而使問題化難為易、化繁為簡，達到解決問題的目的。數形結合思想的應用分為兩種情形:一種是借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數論形”；另一種是借助于形的幾何直觀性來表示數之間的某些關系，即“以形促數”。運用數形結合思想解題，易于尋找解題途徑，可避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程。我國著名數學家華羅庚曾說過:“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休?！睌祵W中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透。

三、分類討論思想運用

分類討論思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，把數學的研究對象區分為不同種類的一種數學思想。正確應用分類思想，是完整解題的基礎。例如，在學了角的比較大小后，對于小于平角的角分為銳角、直角、鈍角三類，就是分類思想的體現。同一類事物按不同標準可進行不同的分類，但在同一標準下必須做到不重、不漏。

把一個數學問題的研究對象按一定的標準分成幾個部分或幾種情況，化整為零，一一解決，實際上是一種“分而治之，各個擊破”的策略。其步驟為:

1.確定分類對象—理解分類概念；

2.恰當合理分類—掌握分類原則；

3.逐步逐級討論—學會分類方法；

4.綜合概括敘述—培養邏輯思維。

分類討論的原則是:對象確定，標準統一；分層次，不越級；不重復,不遺漏。

有關分類討論思想的數學問題在數學學習過程中之所以占有重要位置，原因是它具有明顯的邏輯性特點，能很好地訓練一個人的思維的條理性和概括性。

四、轉化化歸思想的運用

復雜的問題轉化為簡單的問題來解，未知的問題轉化為已知的問題來解……數學問題往往是在不斷的轉化中達到解決目的。同一個數學問題，由于觀察的角度不同，對問題的分析、理解的層次不同，可以導致目標的不同與解題方法的不同，但目的只有一個—盡量做到化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體。

轉化包括等價轉化和非等價轉化兩種。等價轉化要求轉化過程中的前因后果是互相可推的。但事實上并不是所有的轉化都是等價的，因此，在轉化過程中，一定要注意轉化前后的等價性，如出現不等價轉化，則需附加約束條件。

總之，數學思想反映著數學概念、原理及規律的聯系和本質，是形成數學能力、數學意識的橋梁，是靈活運用數學知識、技能、方法的關鍵。數學思想方法是中學數學教學的重要內容之一。任何數學難題的解決無不以數學思想為指導，以數學方法為手段。數學思想是教材體系的靈魂，是教學設計的指導，是課堂教學的統帥，是解題思維的指南。把數學知識的精髓—數學思想方法納入基礎知識的范疇，是加強數學素質教育的一個重要舉措。隨著對數學思想方法教學研究的深入，在教學中滲透數學思想方法的實施，必將進一步提高數學教學質量。