新課程“古典概型”教學(xué)的感悟

摘 要： 概率問(wèn)題與實(shí)際聯(lián)系緊密，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握古典概型的教學(xué)大綱，熟悉“古典概型”的知識(shí)結(jié)構(gòu)，借助列表法、圖解法等列舉法，明確題意，數(shù)形結(jié)合，尋求最佳正確的解決方法。

關(guān)鍵詞： “古典概型” 古典概率教學(xué) 列舉法

一、新課標(biāo)對(duì)古典概率教學(xué)要求

教學(xué)大綱要求理解“古典概型”，掌握“古典概型”概率計(jì)算公式，把對(duì)“古典概型”的研究作為重點(diǎn)知識(shí)模塊。因文科新課程教材刪去排列、組合的有關(guān)章節(jié)，在利用等可能事件的概率公式計(jì)算概率時(shí)，不能用排列組合知識(shí)，所以把計(jì)數(shù)的方法局限于列表法、樹(shù)形圖，強(qiáng)化它們?cè)诮鉀Q“古典概型”中的作用。教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成用列舉法解決“古典概型”的意識(shí)，教會(huì)學(xué)生學(xué)好如何運(yùn)用列舉法去計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。運(yùn)用列舉法計(jì)算“古典概型”是概率模塊教學(xué)的難點(diǎn)。

二、古典概型的知識(shí)結(jié)構(gòu)

1.“古典概型”滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征。

2.“古典概型”的概率公式：

事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

3.求古典概率的一般步驟：

（1）弄清題目的背景材料；

（2）判斷是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；

（4）用公式P（A）=m/n求出事件A的概率。

三、例題精選、解析

列舉法在解決“古典概型”的實(shí)際應(yīng)用中起到關(guān)鍵性作用，可使許多復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題迎刃而解。下面筆者運(yùn)用“列舉法”（列表法、樹(shù)形圖、圖解法）來(lái)解決幾個(gè)典型的概率問(wèn)題。

例1：齊王與田忌賽馬，田忌的上馬優(yōu)于齊王的中馬，劣于齊王的上馬；中馬優(yōu)于齊王的下馬，劣于齊王的中馬；下馬劣于齊王的下馬。現(xiàn)各出上、中、下三匹分組進(jìn)行比賽，如果雙方均不知對(duì)方馬的出場(chǎng)順序，探求田忌獲勝的概率。

解：此題可通過(guò)列表如下：

由上表可知：田忌勝的概率為1/6。

例2：用紅、黃、藍(lán)三種顏色給3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，求3個(gè)矩形顏色都不同的概率。

解：用樹(shù)形圖表示如下：

紅紅紅黃藍(lán)黃紅黃藍(lán)藍(lán)紅黃藍(lán)黃紅紅黃藍(lán)黃紅黃藍(lán)藍(lán)紅黃藍(lán)藍(lán)紅紅黃藍(lán)黃紅黃藍(lán)藍(lán)紅黃藍(lán)

可見(jiàn)所有可能的基本事件有27個(gè)，記“3個(gè)矩形顏色都不同”為事件A，事件A的基本事件有2×3=6個(gè)，故P（A）=6/27=2/9。

例3：同時(shí)擲相同的兩枚硬幣，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，出現(xiàn)兩正一反的概率為1/4，對(duì)嗎？

解：不對(duì)。應(yīng)注意所有結(jié)果必須是等可能的，所有可能的基本事件應(yīng)是8種，而不是4種。即（正、正、正），（反、反、反），（反、正、反）、（正、反、反）、（反、反、正），（正、正、反）、（正、反、正）、（反、正、正）。記“出現(xiàn)兩正一反”為事件A，P（A）=3/8。

例4：拋擲兩顆骰子，求點(diǎn)數(shù)之和大于5小于10的概率。

解：可借助直觀圖解決，作圖如下：

記“點(diǎn)數(shù)之和大于5小于10”為事件A。如圖，事件A包含有20個(gè)基本事件，即（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），故P（A）=20/36=5/9。

例5：甲、乙兩人擲骰子打賭，甲、乙各擲一次為一個(gè)回合，擲骰子的過(guò)程按照一個(gè)回合一個(gè)回合的順序進(jìn)行，贏家獲得全部賭金。兩人約定，到某個(gè)回合如果甲累計(jì)擲出三次“6點(diǎn)”，而乙未擲出三次“4點(diǎn)”，則甲為贏家；反之，如果乙方累計(jì)擲出三次“4點(diǎn)”而甲方未擲出三次“6點(diǎn)”，則乙為贏家；如果甲累計(jì)擲出三次“6點(diǎn)”，并且乙擲出三次“4點(diǎn)”，則這個(gè)回合不計(jì)，退回到上一個(gè)回合的基礎(chǔ)上繼續(xù)擲骰子，直到分出輸贏。擲骰子若干次后，甲累計(jì)擲出兩次“6點(diǎn)”，乙累計(jì)擲出一次“4點(diǎn)”，這時(shí)游戲因故不能繼續(xù)進(jìn)行，問(wèn)在這種情況下如何合理分配這些賭金？

解：（方法1）記甲為事件A，若甲擲6點(diǎn)發(fā)生，則甲必贏，所以甲的概率為1/6；若甲擲非6點(diǎn)而乙擲4點(diǎn)，則“6點(diǎn)”和“4點(diǎn)”各累計(jì)出現(xiàn)2次，這時(shí)甲、乙又站到了平等的起點(diǎn)上，他們成為贏家的機(jī)會(huì)相等，于是甲贏的概率為（5/6）×（1/6）×（1/2）；若如果“6點(diǎn)”和“4點(diǎn)”都未發(fā)生，則甲、乙又回到打賭中斷時(shí)的狀態(tài)，于是得到P（A）=（1/6）+（5/6）×（1/6）×（1/2）+（5/6）×（5/6）×P（A），解得P（A）=17/22。

P（A）=（1/6）+（5/6）×［（1/6）×（1/2）+（5/6）P（A）］，解得P（A）=17/22。

因此，這個(gè)問(wèn)題合理的分配方案為：甲方得全部賭金的17/22，乙方得全部賭金的5/22。

求解概率問(wèn)題靈活多變，事件的可能結(jié)果繁多，用圖解法、列舉法，可避免遺漏出錯(cuò)，數(shù)形結(jié)合是解題的首選。

參考文獻(xiàn)：

［1］田截今，張唯一，朱立軍.擲骰子與概率的起源.數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006.4.