新課程背景下初中數學應用題教學的策略分析

摘 要： 新課程背景下初中數學應用題教學具有重要的地位，本文作者結合新課程標準的要求與特點，分別從如何把握新課程背景下應用題特點，幫助學生總結出常見的應用題模型，以及注重過程教學，加強學生建模能力等方面作出一定的探討。

關鍵詞： 初中數學應用題 特點 模型 “建模能力”

新的數學課程標準關注學生全面、持續、和諧地發展，強調培養學生的應用意識。數學應用題是中學階段體現數學應用性非常典型的內容，是學生了解數學應用的一個窗口，是目前檢測學生應用意識和能力的一個重要方面。通過應用題，可以培養學生用數學的眼光和從數學的角度去思考、解決問題，使學生深刻地感受到數學與現實世界的密切聯系，而應用題的解決可以提高學生分析問題和解決問題的能力。筆者結合新課程數學教學的經驗，對新課程背景下初中數學應用題教學提出一定的對策建議。

一、科學總結出新課程背景下初中應用題呈現的特點

初中數學新教材是新課程改革的一項重要成果，同時新教材中應用題教學內容的變化也在一定程度上代表了初中數學新課程改革的方向。結合新教材中應用例題，筆者總結出新課程中應用題呈現以下幾個方面的特點：

1.應用題編題范圍的廣泛化

原教材中應用題的取材相對比較單一，主要涉及行程、工程、材料、零件、銷售、生產、度量、比賽等背景的問題，內容陳舊，范圍過窄，離學生的現實生活較遠。新教材中應用題的問題背景就相當豐富了，涉及建筑、自然、材料設計、人口、經濟、環保、交通、雕塑、數學史、城市規劃、生態、健康、工程技術、軍事、城市規劃等各個方面，且日常生活中的鬧鐘、撲克牌，家里鋪的地磚，周圍的高樓大廈、花園、電梯、登山纜車，老井上的轆轤，微觀世界的粒子運動，浩瀚宇宙中的行星運轉都可成為應用題的背景。

2.應用題取材的生活社會化

新教材中應用題的取材不僅考慮數學自身的特點，更遵循了學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，向學生提供了貼近他們的生活、真實而富有挑戰性、關注社會發展的學習素材，使學生了解數學的價值，體會數學與自然及人類社會的聯系，增進對數學的理解和應用數學的信心。

新教材的應用題中有學生日常生活中再熟悉不過的東西，如：書桌、鉛筆盒、筆筒、足球、鐘表、方向盤、小動物等。

3.應用題表現形式的多樣化

原教材中的應用題主要以文字敘述為主，新教材中應用題的呈現方式結合表格、圖像、圖片、對話、寓言故事等，直觀形象、圖文并茂、生動有趣地呈現了素材，可以提高學生的學習興趣，滿足多樣化的學習需求。

表格式應用題除了具有直觀、簡明扼要、對比性強等特點外，還具有濃厚的生活氣息，使學生感受到數學就在我們身邊。按照表中提供的信息可以解決不同的問題，既體現了數學應用的廣泛性，又能培養學生應用數學的意識和能力。統計與概率部分提供了大量的表格式應用題。例如，新教材八年級下冊第178頁習題第2題：2000年9月28日，我國選手伏明霞、郭晶晶分別獲得悉尼奧運會女子三米板跳水冠、亞軍。告知獲得前六名的選手的決賽成績（分數），試計算各個選手5次跳水成績的平均分和方差，并比較這六名選手的表現。

4.應用題注重突出建模思想

數與代數領域，數學建模是一條主線。該領域中的方程、不等式、函數都是刻畫現實世界的重要模型：方程是刻畫現實世界數量關系的數學模型，函數是刻畫現實世界數量變化規律的數學模型，一次函數反映了均勻變化的規律。空間與圖形領域強調幾何建模過程：由于其自身的特點較之其他模型更直觀、形象，更宜于從現實情境中抽象出數學的概念、理論和方法。在這樣的前提下，新教材中的應用題力求體現“問題情境—建立數學模型—解釋、應用與拓展”的模式，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用來展現數學知識的形成與應用過程，這事實上就是解決實際問題的基本途徑、數學建模的基本過程。所以這樣的呈現方式有助于增強學生的數學應用意識，初步領會數學建模的思想和方法，滲透數學建模的意識。

二、幫助學生歸納常見的初中數學應用題模型

通過對新課程背景下初中數學教材及近年來全國各地中考數學應用題題型的歸納，我們可以發現初中數學應用題出題的模型范圍基本上都是緊緊圍繞考試大綱的，變化的只是具體的實際生活案例載體，但是經過抽象后解決問題的數學模型基本上都是比較集中的。鑒于這種規律，結合新課程數學知識點中出應用題的高頻率知識點，教師可以利用自己對知識系統性掌握的優勢，幫助學生對初中數學應用題常見模型作一個基本的總結與歸納，如表1所示：

通過上表可以看出，在初中數學的知識點中最容易出應用題的知識點多集中在方程、函數、不等式及統計等方面，為了進一步讓學生對以上各類數學應用題模型的基本題型有一個基本的認識與了解，教師在這樣總結的基礎上還應針對各類模型選取與之配套的例題來進行講解，增加學生對數學應用題模型類型的掌握。需要說明的是，由于教師幫助學生總結數學應用題模型在知識點上跨度比較大，因此這種教學策略一般適合在初二下學期，以及初三年級進行。

三、重視過程教學，培養“建模能力”

新課程的一個重要要求就是要求學生能把一些常見的實際問題轉化為數學問題。把實際問題轉化為數學問題，即為數學模型。數學模型不同于一般的模型，它是用數學語言模擬現實的一種模型，即把一個實際問題中某些事情的主要特征、主要關系抽象成數學語言，近似地反映事物的內在聯系與變化的過程。解決此類問題的關鍵步驟主要有兩個：一是建立數學模型（建模）；二是運用有關知識求解數學模型（解模）。建模就是構建適當的數學關系（如公式、函數、方程或圖形），使原來的問題情境轉化為易于解決的問題的解題方法，解模就是從題設條件和求解結論中得出啟示，構造出一些新的數學形式，通過對這些數學形式的研究可以得出解題思路，從而達到解題的目的。

要實現這樣的目的，在初中數學應用題教學中教師就不能以追求講解應用題求解結果為目標，而要注重初中數學應用題過程教學。在這個過程中教師應教會學生怎樣去建模，并結合新課程中應用題解題的一般過程，在應用題教學中注重讓學生掌握以下的建模流程，如圖1所示：

下面通過一道初中新課程教材中比較常見的應用題類型來說明建模過程在數學應用題求解中的重要流程與作用。

例題：東方超市銷售一種成本為每千克40元的水產品，經市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能銷售出500千克；銷售單價每漲價一元，月銷售量就減少10千克。針對這種水產品的銷售情況，請解答以下問題：

（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。

（2）商場計劃在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？

這是一道與日常生活非常接近的應用題，取材于生活中常見的營銷問題。根據上文分析的建模過程，教師在教學時候就要鼓勵學生從這些日常生活實際中抽象出數學模型來，結合這道具體的例題，教師應該提醒學生在實際問題與數學模型之間進行轉換時候要注意到以下幾個數量關系：

銷售利潤 = （銷售單價 - 銷售成本）×銷售量

銷售量 = 原銷售量 - 滯銷量

銷售單價 = 原定單價 + 漲價

明白了這些基本模型等式之后，設銷售單價為每千克x元，則每千克的銷售利潤為（x -40）元；月銷售量為500-（x-50）×10千克；月銷售利潤為（x-40） ×［500-10（x-50）］元。

所以問題1的解答為：當銷售單價為55元時，月銷售量為500-（55-50） × 10=450（千克），所以月銷售利潤為（55-40）×450=6750（元）。

但是當銷售單價為60元時，月銷售成本為：40×［500-（60-50） ×10=16000（元），根據“月銷售成本不能超過10000元”，所以銷售單價定為每千克80元。

通過上述這道例題可以看出，初中數學應用題解題的關鍵是要找出題目所給出的實際問題中蘊藏的數學模型及等量關系，然后將實際問題直接轉化成為純數學問題，得到數學模型的解之后再回頭代入實際問題之中，從而得到解決實際問題的答案。

總而言之，新課程標準對學生在應用題學習方面的要求還是比較高，教師應該在充分領悟到新課程標準對應用題教學要求基礎上，推陳出新，講究應用題教學方法，提高新課程背景下初中數學應用題的教學效果。

參考文獻：

［1］韓躍欽. 新課程理念下的數學應用題教學［J］.新課程研究（基礎教育），2008，（8）.

［2］張婕. 新課程下的應用題教學［J］.成功（教育），2007，（10）.

［3］孟繼中. 新課程理念下的應用題教學五原則［J］.現代特殊教育，2008，（2）.