應樹立數形結合思想

摘 要： 數學中的很多概念都有一定的幾何意義，本文作者根據教學實踐認為要樹立學生數形結合的思想，就要善于挖掘數學概念的幾何意義；要注意培養學生看見函數式立即想到它的圖像，結合實際圖像記性質、用性質的好習慣；數形要結合，關鍵在于能根據函數式（或方程）畫出圖形和根據代數式分析其表示的幾何意義。

關鍵詞： 數形結合思想 數學概念 幾何意義 基本圖像 應用

所謂數形結合思想，就是根據已知條件，作出或構造出相應的圖形或圖像，通過對圖形或圖像的分析來解決問題的方法。著名數學家華羅庚先生說得好：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”華老親切而風趣地告誡我們不要“得意忘形”。要提高學生分析問題和解決問題的能力，教師就要重視數形結合思想的培養，有意識地對學生進行數形結合的訓練。我在多年的數學教學中對數形結合思想教學作了一些嘗試，在此將體會介紹如下。

一、從低年級起就要重視數學概念的幾何意義的教學

數學中的很多概念都有一定的幾何意義，要培養學生數形結合的思想，就要善于挖掘數學概念的幾何，如：在學習絕對值的概念時，教材對絕對值的幾何意義作了如下描述：“一個數的絕對值是指在數軸上表示這個數的點到原點的距離。”如果教師此時能有意識地重視講清：“|x|在數軸上表示數所對應的點到原點的距離，而|x-a|表示數x與a對應的兩點間距離。”那么對于絕對值不等式：1＜|3x+4|≤6，便可以用圖解如下：

圖（1）

∵不等式1＜|3x+4|≤6與不等式＜x+≤2為同解不等式，

∴由x+的幾何意義便知式子＜x+≤2中的在數軸上對應的點到點-的距離應大于且不大于2。（如圖（1）中畫有陰影線的部分）

認真講述數學概念的幾何意義，溝通數與形的本質聯系，不僅可以深化學生對數學概念的理解，而且為提高學生解決問題的能力開辟了新途徑。所以從低年級起就要重視數學概念的幾何意義的教學，持之以恒，將會有極大的收益。

二、重視數學的的基本圖像在代數、三角上的應用

如果說坐標系是數與形結合的紐帶，那么函數圖像則是數的直觀形象的反映。在數學教學中教師要注意培養學生看見函數式立即想到它的圖像，養成結合實際圖像記性質、用性質的好習慣。初中三年級，學生學習了一元二次函數y=ax+bx+c（a≠0）的圖像和性質，到了中專一年級上學期，在講授不等式ax+bx+c＞0（或＜0）的解法時，便可以集“求根公式法”、“圖像法”之長而引出較為簡單直觀的“數形結合法”解一元二次不等式。

例1：解不等式≥x。

分析：令y=，y=x，

畫出函數y，y的圖像，

y的曲線是以C（-2，0）為圓心，以3為半徑的上半圓，y的曲線是Ⅰ，Ⅲ兩個象限角的平分線（如圖（2））。

圖（2）

當y=y時有一個交點，即=x=，

則由圖觀察y≥y可知其解集為x-5≤x≤。

例2：方程sinx=lgx的實數根的個數是（）。

A.1B.2C.3D.大于3

圖（3）

分析：如圖（3），在同一直角坐標系內分別畫出函數y=sinx和y=lgx的圖像，由于y=lgx=lg10=1，那么y=lgx中的x≈3π。顯然知兩個函數曲線相交有三個交點，故選C。

上述例子解題步驟少，效率極高。據統計，數學教學的習題教學約占總教學時數的70%，因此習題教學的成敗在很大程度上決定了數學教學效果的高低，教學怎樣體現出智能、情趣是很關鍵。愛因斯坦說：“興趣是最好的老師。”數學客觀存在的美感，在數與形的結合上表現得十分完美。它的特點是直觀形象、簡捷明快、不易錯。教師在數學教學活動中，要充分運用一些材料，引導學生領略數學的美，使學生對數學產生強烈的情感、濃厚的興趣和探討的欲望。例如：在數與形的關系中特別引人注目的著名的“黃金分割率”，它被世人稱之為和諧性的最完美的表現。“0.618”被譽為黃金數、神圣的比例、宇宙的美神。在日常生活中，人們習慣用“黃金分割”——審美的觀念看世界。在繪畫和建筑藝術中，如《最后的晚餐》、埃菲爾鐵塔等都包含了“黃金率”，所以它們才有經久不衰的魅力。

三、要善于挖掘代數式的幾何意義

數形要結合，關鍵在于能根據函數式（或方程）畫出圖形和根據代數式分析其表示的幾何意義。數學的很多公式、定理都具有一定的幾何意義，教師要引導學生深刻分析這些公式、定理與幾何圖形的內在的本質的聯系，從而尋求解決問題的有效方法。

例如代數式，如果不引導學生與直線的斜率公式k=相聯系進行比較，那么就很少有學生會將代數式看成是點（x，y）與點（-2，-1）連線的斜率，也就挖掘不出代數式的幾何意義。當學生對代數式的幾何意義有了理解，那么下面的問題也就不難找到解的方法了。

例3：已知x+=1，求代數式的最大值和最小值。

分析：由已知得x+=1的曲線是橢圓，

將代數式變形為，

便可將其看成兩點（x，y）與（-2，-1）的連線斜率。

不妨設斜率k=，

∴過點（-2，-1）斜率為k的直線方程為y+1=k（x+2）。

由圖（4）形看出：

只有直線y+1=k（x+2）與橢圓x+=1相切時，k值才會達到最大或最小。

要使直線與橢圓相切，只須方程組y+1=k（x+2）x+=1有唯一組解。利用根的判別式不難求解為k=。即代數式的最大值為，最小值為。

總之，數學中的很多概念、法則、公式、定理都與一定的空間形式密切聯系，曲線與方程、區域與不等式、函數與圖像、三角函數與單位圓中的三角函數線，復數與向量都有內在的聯系，而數形結合則是具體與抽象、感知與思維的結合，是發展形象思維與抽象思維并使之相互轉化的有力“杠桿”。教師應在數學教學中盡量發掘“數”與“形”的本質聯系，借助數形結合的“慧眼”，探索分析問題和解決問題的方法，使學生變“學會”為“會學”，提高學生的數學素養，從而在數學教學中真正實現素質教育。

參考文獻：

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