淺談中國數學發展之進程

劉 品

摘要:中國是人類數學最早的發源地之一。在古代世界四大文明中,中國數學有著光輝的歷史,它所持續的繁榮時期也是最為長久的。中國古代在數學方面的許多領域內都取得了輝煌的成就,曾處于世界遙遙領先的地位。本文主要論述中國古代數學的發展史,著重介紹中國古代數學各個時期的發展情況,略帶介紹近現代數學的發展。

關鍵詞:中國;古代數學;發展

一、 中國古代數學的起源、發展與衰退

我國數學的早期萌芽與原始社會的形成緊密相連,當時人們的各種實踐活動和智力的發展促使了數學的發生。數概念的起源是我國數學起源的開始,可追溯到原始社會。私有制和貨物交換的產生,使數與形的概念有了發展。在出土的仰韶文化時期的陶器上面,已刻有表示1、2、3、4的符號,標志文字符號取代結繩記事了。商中期,據《易·系辭》記載:“上古結繩而治,后世圣人易之以書契”。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數的文字,從一到十,百、千、萬是專用的記數文字。與此同時,殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期;在周代,又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示8種事物發展為六十四卦,表示64種事物。春秋戰國之際,籌算已得到普遍應用。用算籌記數,有縱、橫兩種方式。表示一個多位數字時,采用十進位值制,各位值的數目從左到右排列,縱橫相間,并以空位表示零。這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的,使得這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用。這時期,對于圖形也有許多定義與使用,如:半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方,確定平直,人們創造了規、矩、準、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載,夏禹治水時已使用了這些工具。公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法,并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環矩可以為圓等例子。

《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從9歲開始便要學習數目和記數方法,他們要受禮、樂、射、御、書、數的訓練,作為“六藝”之一的數已經開始成為專門的課程。

戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展,尤其是對于證明和一些命題的爭論直接與數學有關,一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。如《墨經》中關于某些幾何名詞的定義和命題,例如:圓,“圓,一中同長也”;平,“平,同高也”;方、直、次(相切)、端(點)等等,也給出了數學定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題,強調抽象的數學思想。名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列,墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論,對中國古代數學理論的發展是很有意義的。

秦漢是封建社會的上升時期,經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系在這個時期正式形成,數學方面的書籍陸續出現。如:漢簡《算數書》,成書年代于公元前186年。《周髀算經》,西漢末年編撰。在數學方面的主要貢獻有兩項:(1)提出勾股定理的特例及普遍形式;(2)測太陽高、遠的陳子測日法,是后來重差術(勾股測量法)的先驅。此外,還有較復雜的開方問題和分數運算等。還有《九章算術》,是戰國、秦、漢數學發展的總結,是經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作,成書大約在東漢初年。全書采用問題集的形式編寫,共收集了246個問題及其解法,分屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。在代數方面,《方程》章中引入負數概念及正負數加減法法則。它采用按類分章的數學問題集的形式,算式都是從籌算記數法發展起來的;以算術、代數為主,很少涉及圖形性質;重視應用,缺乏理論闡述等。《九章算術》中的數學概念在世界數學史上遙遙領先,對世界數學的進展起到了促進作用。

進入魏晉時期,中國數學在理論上有了較大的發展。三國吳人趙爽注《周髀算經》,在《周髀算經》書中補充“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”,他是中國古代對數學定理和公式進行證明與推導的最早的數學家之一。漢末魏初徐岳撰《九章算術》注,魏末晉初劉徽撰《九章算術》注,繼承和發展了戰國時期名家和墨家的思想,對數學名詞及重要的數學概念給以嚴格的定義,認為對數學知識必須進行“析理”,才能使數學著作簡明嚴密,利于讀者。創造割圓術,利用極限的思想證明圓的面積公式,并首次用理論的方法算得圓周率為157/50和3927/1250。還用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1,解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時,劉徽為徹底解決球的體積指出了正確途徑。他們的工作,被認為是中國古代數學理論體系的開端。

而祖沖之父子在劉徽注《九章算術》的基礎上,把傳統數學大大向前推進了一步。據推測,祖沖之在劉徽割圓術的基礎上,算出圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積,他又用新的方法得到圓周率兩個分數值,即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作,使中國在圓周率計算方面,比西方領先約一千年之久。祖沖之之子總結了劉徽的有關工作,提出“冪勢既同則積不容異”,即等高的兩立體,若其任意高處的水平截面積相等,則這兩立體體積相等。這個公理,解決了劉徽尚未解決的球體積公式。

隋唐時期,隋煬帝好大喜功,大興土木,客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通的《緝古算經》,主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題,反映了這個時期數學的情況。656年國子監設立算學館,設有算學博士和助教,學生30人,由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》,作為算學館學生用的課本。李淳風等編纂的《算經十書》,對保存數學經典著作、為數學研究提供文獻資料方面是很有意義的。

從11～14世紀約300年期間,籌算數學達到極盛,中國古代數學空前繁榮,碩果累累。這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作。如賈憲的《黃帝九章算法細草》實現了從開平方、開立方到四次以上的開方,這在認識上是一個飛躍。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”“增乘開立方法”;根據記錄可以確定賈憲已發現二項系數表,創造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數學發生重大的影響,其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出六百多年。劉益的《議古根源》,得到了增乘開方法推廣到數字高次方程(包括系數為負的情形)解法,秦九韶的《數書九章》,是高次方程解法的集大成者,在《數書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數為10)的問題。在求根的第二位數時,秦九韶還提出以一次項系數除常數項為根的第二位數的試除法,這比西方最早的霍納方法早五百多年。李冶著有《測圓海鏡》和《益古演段》,《測圓海鏡》是現存最早的天元術著作。(中國數學史上首次引入符號,用天元(相當于x)作為未知數符號,立出高次方程,并用符號運算來解決,古代稱之為天元術。)他也對勾股容圓問題進行了詳細研究,得到9個容圓公式,大大豐富了中國古代幾何學的內容。楊輝著有《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》,《楊輝算法》中“田畝比類乘除捷法”卷,介紹了原書中22個二次方程和1個四次方程,是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組,是宋元數學家的一項杰出創造,對這一杰出創造進行系統論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。朱世杰的四元高次聯立方程組表示法是在天元術的基礎上發展起來的,他把常數放在中央,四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上,其他各項放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻是提出四元消元法,這是線性方法組解法的重大發展,比西方同類方法早四百多年。在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,補充了《九章算術》的不足。

在宋元時期,中國古代計算技術出現改革。從宋元明的歷史文獻中可看到,實用算術書目數量遠比唐代為多,改革的主要內容仍是乘除法。與算法改革的同時,穿珠算盤在北宋可能已出現。元代完成了珠算的算法和口訣。

從十四世紀中葉明王朝建立到明末的1582年,中國傳統數學的發展出現了停滯的現象,甚至在走向衰落,數學除珠算外出現全面衰弱的局面。在這期間,中國數學非但沒有充分發展,連古代數學成就都難以為繼,幾近失傳。明代珠算普及,出現了許多珠算讀本,及至程大位的《直指算法統宗》[1592]問世,珠算理論已成系統,標志著從籌算到珠算轉變的完成。但由于珠算流行,籌算幾乎絕跡,建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳,使中國的數學出現長期停滯。還有許多其他原因,使中國數學開始落后于西方。

二、 中國近現代數學及西方數學對中國數學的影響

中國近現代數學開始于清末民初的留學活動。留學生們回國后成為著名數學家和數學教育家,為中國近現代數學發展作出重要貢獻,推動了各地大學數學教育發展。北京大學1912年成立時建立數學系,到1932年,各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年,熊慶來在清華大學首創數學研究部,開始招收研究生,陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。上世紀30年代出國學習數學的還有江澤涵、陳省身、華羅庚等人,他們都成為中國現代數學發展的骨干力量。同時,外國數學家也有來華講學的。1936年,《中國數學會學報》和《數學雜志》相繼問世,這些標志著中國現代數學研究的進一步發展。在分析學方面、數論與代數方面、幾何與拓撲學方面、概率論與數理統計方面取得了許多成果。新中國成立后,數學研究取得長足進步。上世紀50年代初期出版了華羅庚的《堆棧素數論》、蘇步青的《射影曲線概論》、陳建功的《直角函數級數的和》和李儼的《中算史論叢》5集等專著。除了在數論、代數、幾何、拓撲、函數論、概率論與數理統計、數學史等學科繼續取得新成果外,還在微分方程、計算技術、運籌學、數理邏輯與數學基礎等分支有所突破,有許多論著達到世界先進水平,同時培養和成長起一大批優秀數學家。1973年,陳景潤在《中國科學》上發表《大偶數表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》的論文,在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外,中國數學家在函數論、馬爾可夫過程、概率應用、運籌學、優選法等方面也有一定創見。中國的近代數學,受外國影響很大。1582年,意大利傳教士利瑪竇來到中國,先后與徐光啟翻譯了《幾何原本》前六卷、《測量法義》一卷,與李之藻編譯《圜容較義》和《同文算指》。1629年,在徐光啟主持下,編譯《崇禎歷書》137卷。《崇禎歷書》主要是介紹歐洲天文學家第谷的地心學說。作為這一學說的數學基礎,希臘的幾何學、納皮爾算籌、伽利略比例規等計算工具,也同時被介紹進來。在傳入的數學中,影響最大的是《幾何原本》。《幾何原本》是中國第一部數學翻譯著作,絕大部分數學名詞都是首創,其中許多至今仍在沿用。它成為明清兩代數學家必讀的數學書,對他們的研究工作頗有影響。三角學也在這時被介紹到中國,如《大測》《割圓八線表》和《測量全義》。隨后在1646年,波蘭傳教士穆尼閣來華,跟隨他學習西方科學的有薛鳳祚、方中通等。薛鳳祚據其所學,編成《歷學會通》,想把中法西法融會貫通起來。1840年鴉片戰爭以后,西方近代數學開始大量傳入中國。首先是英人在上海設立墨海書館,介紹西方數學。第二次鴉片戰爭后,曾國藩、李鴻章等官僚集團開展“洋務運動”,也主張介紹和學習西方數學,組織翻譯了一批近代數學著作,促進了西方數學在我國推廣與應用。戊戌變法以后,各地興辦新法學校,組織翻譯的近代數學著作便成為主要教科書。在翻譯西方數學著作的同時,中國學者也進行一些研究,寫出一些著作,如:李善蘭的《尖錐變法解》《考數根法》,夏彎翔的《洞方術圖解》《致曲術》《致曲圖解》等等,都是會通中西學術思想的研究成果。

由于輸入的近代數學需要一個消化吸收的過程,加上清末統治者十分腐敗,在太平天國運動的沖擊下,在帝國主義列強的掠奪下,焦頭爛額,無暇顧及數學研究,所以,直到1919年五四運動以后,中國近代數學的研究才真正開始。

參考文獻:

[1]李迪.中國數學史簡編[M].沈陽:遼寧人民出版社,1984.

[2]錢寶琮.中國數學史[M].北京:北京科學出版社,1966.

(曲阜師范大學運籌與管理學院)