創(chuàng)新題應用的案例研究

沈永平

[摘要] 在數學課堂教學中,要落實數學教學課程標準提出的“注重指導學生學會自行獲取知識”的教學要求,促使學生積極主動地獨立思考、發(fā)現(xiàn)問題,提出問題和解決問題。筆者從四個領域:數與式、方程(組)、不等式(組)、函數,對創(chuàng)新題應用的案例進行研究。

[關鍵詞] 課堂 思維 案例 方法

在數學課堂教學中,要落實數學教學課程標準提出的“注重指導學生學會自行獲取知識”的教學要求,促使學生積極主動地獨立思考、發(fā)現(xiàn)問題,提出問題和解決問題。本文,筆者針對怎樣培養(yǎng)學生解決創(chuàng)新題的能力進行論述。

一、在數與式中的應用,激發(fā)學生的求知欲望

案例1:據國家稅務總局通知,從2007年1月1日起,個人年所得12萬元(含12萬元)以上的個人需辦理自行納稅申報。李海和王亮分別經營海產品,李海2006年經營海產品3次,分別獲得收益7萬元、3.5萬元、-6萬元;王亮2006年經營海產品5次,分別獲得收益-3萬元、2.5萬元、-5萬元、0.5萬元、4萬元。另外,李海和王亮分別在一家海產品公司技術員,李海2006年所得工資9萬元,王亮2006年所得工資8萬元。現(xiàn)請你判斷:李海、王亮在2006年的個人年所得是否需要向有關稅務部門辦理自行納稅申報并說明理由。

分析:分別算出李海和王亮兩人的個人年所得是解答本案例的關鍵。根據所提供的公式很容易求解,但要注意計算的準確性。

解:李海需辦理自行納稅申報,王亮不需辦理自行納稅申報。理由如下:設李海海產品經營總收益為x萬元,王亮海產品經營總收益為y萬元,李海個人年所得為w1萬元,王亮個人年所得為w2萬元。

則x=7+3.5-6=4.5,y=-3+2.5-5+0.5+4=-1<0。

∴w1=9+4.5=13.5(萬元)

w2=8+0=8(萬元)

∵w1=13.5萬元>12萬元,w2=8萬元<12萬元

∴根據規(guī)定李海需辦理自行納稅申報,王亮不需辦理自行納稅申報。

評注:學習的目的在于應用,與有理數、實數有關的實際應用題在中考中占有的地位越來越重,這類題目密切聯(lián)系實際,不需要高深的數學知識,但對同學們分析問題、解決問題的能力提出了較高要求。

二、在方程(組)中的應用,培養(yǎng)實際應用能力

案例2:某農場在夏季計劃要收割7200畝小麥,后來由于接到氣象部門雨情通知,場長決定收割總量比原計劃增加20%,且必須提前4天完成收割任務,該廠迅速加派人員組織收割,實際每天比原計劃每天多收割720畝,請問該廠實際每天收割多少畝?

分析:本案例以農場夏季收割小麥為背景,設計一個實際應用問題。

解:設實際需要x天完成生產任務,根據題意得:7200(1+20℅)/x-7200/(x+4)=7200

化簡得:12/x-10/(x+4)=1,

12(x+4)-10x=x(x+4)

整理得x2+2x-48=0

解之得:x1=6,x2=-8(不合題意,舍去)

7200(1+20℅)/6=1440(頂)

故該廠實際每天生產帳篷1440頂。

評注:本案例是一個實際應用問題,首先要求學生分清題意,設定合適的未知數,找出相等關系,建立方程模型,特別注意在檢驗時不但要檢驗結果是否是方程的解,而且還要驗證結果是否符合問題的實際情況。

三、在不等式(組)中的應用,增強信息整合能力

案例3:A縣和B縣分別有某種家電下鄉(xiāng)庫存產品12臺和6臺,現(xiàn)決定運往C鄉(xiāng)10臺、D鄉(xiāng)8臺。已知從A縣調運一臺產品到C鄉(xiāng)和D鄉(xiāng)的運費分別是40元和80元,從B縣調運一臺產品到C鄉(xiāng)和D鄉(xiāng)的運費分別是30元和50元。

(1)設B縣運往C鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)產品x臺,求總運費W關于x的函數關系式。

(2)若要總運費不超過900元,共有幾種方案?

(3)求出運費最低的調運方案,最低運費是多少元?

分析:本案例實際上是一個函數與不等式應用題,題目中隱含著函數關系、不等關系,需要建立數學模型,即設B縣運往C鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)產品x臺,則運往D鄉(xiāng)為(6-x)臺;A縣運往C鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)產品(10-x)臺,運往D鄉(xiāng)為[8-(6-x)]臺,然后根據題意列出函數關系式,從而探索到解題方法。

解:(1)設B縣運往C鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)產品x臺,則運往D鄉(xiāng)為(6-x)臺;A縣運往C鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)產品(10-x)臺,運往D鄉(xiāng)為[8-(6-x)]臺,根據題意得:

W=40(10-x)+80[8-(6-x)]+30x+50(6-x)=20x+860

∴ W=20x+860

(2)∵W=20x+860≤900

解之得:x≤2

∴ 這就說明此題當x=0,1,2時,有三種方案。

(3)當x=0時,總運費最低。

即總費用最低的調運方案為:從A縣調運10臺家電下鄉(xiāng)產品給C鄉(xiāng),2臺家電下鄉(xiāng)產品給D鄉(xiāng),B縣調運6臺家電下鄉(xiāng)產品給D鄉(xiāng),最低費用為860元。

評注:本案例屬簡單的規(guī)劃類問題,要求學生遇到這類問題時,要特別注意生活中的數量關系往往受到多方面的條件制約,同時,要依據題給已知條件建立數學模型,難度層次較高,因此聯(lián)系實際的數學問題往往題目長、信息多、數據雜,需要仔細、認真地對所給的數據加以分類整理。引導學生通過建立函數、不等式,求得最優(yōu)方案。

四、在函數中的應用,培養(yǎng)解決問題能力

案例4:某校勤工儉學小組從書店按每本1.2元購進筆記本,并按每本3元賣出。(1)求同學們賣出筆記本的銷售額y(元)與銷售量x(本)之間的函數關系式;

(2)若從書店購買筆記本的同時,還用去運輸和其它費用共40元,求勤工儉學總金額w(元)與銷售量x(本)之間的函數關系式;若要勤工儉學總金額不少于500元的,則至少要賣出筆記本多少本(勤工儉學總金額=銷售額-成本)

分析:(1)根據銷售額=單價×銷售量的關系可直接列出函數關系式。(2)列關系式時要注意成本分兩塊:一塊進貨成本每本1.2元,則x本的成本為1.2x元;再有用去運輸和其它費用共40元。

解:(1)y=3x

(2)w=3x-1.2x-40=1.8x-40。

∴勤工儉學總金額w(元)與銷售量x(本)之間的函數關系式為w=1.8x-40。

解法1:當w≥500時,1.8x-40≥500,解得x≥300

∴若要勤工儉學總金額不少于500元,至少要售出筆記本300本。

解法2:由1.8x-40=500,解之得x=300,∵w=1.8x-40中1.8>0,∴w隨x的增大而增大,∴若要勤工儉學總金額不少于500元,至少要售出筆記本300本。

評注:本案例在讀懂題目中,要把握數量關系是正確列出函數關系式的關鍵,因此,今后學習中要特別注意。

總之,在課堂教學中,教者要激發(fā)學生靈感,要精心組織探究活動,悉心引導,幫助學生仔細分析,親歷探究,尋求解題規(guī)律,創(chuàng)造一個讓學生展示才華的平臺,更讓課堂成為發(fā)展學能力的搖籃。

參考文獻:

[1]教育部.數學課程標準.北京師范大學出版社,2004.

[2][美]詹姆斯?杜布森.讓孩子自信過一生.新華出版社,2003.