談數(shù)學直覺思維及培養(yǎng)

李宏嚴

數(shù)學直覺思維就是大腦對數(shù)字及其結(jié)構(gòu)關系的一種迅速的判斷與敏銳的想象。伊恩·斯圖加特曾說過：“直覺是真正的數(shù)學家賴以生存的東西。”許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟“輝煌的大廈”；哈密頓在散步的路上進發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個直覺思維的成功典范。

由此可見，直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。法國科學院院士狄多涅認為：任何水平的數(shù)學教學的最終目的，無疑是使學生對他們要處理的數(shù)學對象有一個可靠的“直覺”。一個人的數(shù)學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。因此，在數(shù)學教學中要善于創(chuàng)造條件、捕捉時機，培養(yǎng)學生的直覺思維。

一、“四基”是產(chǎn)生直覺的前提

直覺思維是基于對該領域的基礎知識及其結(jié)構(gòu)的了解，正是這一點才迫使一個人能以飛躍、迅速越級知識和放過個別細節(jié)的方式進行直覺思維。高度的直覺來源于豐富的學識和經(jīng)驗。它不只是個別天才所特有的，而是一種基本的思維方式。扎實的數(shù)學基礎知識和基本技能、豐富的數(shù)學基本思想和基本活動經(jīng)驗是產(chǎn)生直覺的前提。其實，數(shù)學直覺思維是對抽象的數(shù)學對象的一種直接領悟和洞察，并非簡單地對具體事物的感性直觀，是在一定的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學知識積累過程中形成的一種思維能力。它是可以培養(yǎng)和不斷提高的。正如徐利治教授所說：“數(shù)學直覺是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學直覺也是不斷提高的。”

如，在學完一元二次方程的解法后，筆者曾讓學生做了這樣一道題：已知a²+3n+1=0，b²+3b+1=0，求a6的值。

大部分學生都嘗試解這兩個一元二次方程，試圖分別求出a、b后再求ab的值，結(jié)果卻花了很多時間還是一無所獲。但是，卻有一個學生對一元二次方程的根的定義理解較深刻并且掌握較好，憑直覺立刻將a、b看成方程x²+3x+1=0的兩根，由韋達定理很快得出ab=1。

二、在猜測中培養(yǎng)學生的直覺思維

牛頓說：“沒有大膽的猜想就不會有偉大的發(fā)現(xiàn)。”數(shù)學課程標準中的課程目標也提到：要培養(yǎng)學生的猜測能力、發(fā)展初步的合情推理能力，讓學生經(jīng)歷對問題的預測過程。因此，在數(shù)學課堂上，應鼓勵學生憑直覺大膽猜想、預測。為此，就要求教師轉(zhuǎn)變教學觀念，把主動權(quán)還給學生。對于學生的大膽設想要給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發(fā)性直覺思維，避免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產(chǎn)生成功的喜悅感。

實際上，在數(shù)學教學中有很多讓學生猜想的機會。例如，每學完一個新知識，可以讓學生猜測下一步將會學什么。有的學生學習了有理數(shù)后會猜測到以后可能會學習無理數(shù)；學習了整式，會猜想以后將會學分式；有的學生學習了三角形的面積公式后，就能猜測到將要學習平行四邊形、梯形的面積公式；學習了一元一次方程，就猜測將學習一元二次方程、二元一次方程。這些猜測和預感讓他們對未來的學習內(nèi)容平添了許多興趣和期盼。而在概念的教學中，教師可先提出概念名稱，由學生就字面意思進行猜測，再進一步教學。例如，在“等腰三角形”的教學中，筆者就讓學生就字面意思猜測其含義，學生也能猜個八九不離十，并在猜測的過程中各抒己見，活躍了課堂氣氛，也激發(fā)了學生的學習興趣。一條定理或是一道題的解法，都可以鼓勵他們猜想，猜錯了則引導他們尋找原因。這樣有利于激發(fā)他們的直覺思維，并使直覺思維從表層、低層向深層、高層發(fā)展。例如，在初中平面幾何三角形中位線定理(三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半。)的證明中，給出圖形，在理解中位線概念之后，可以讓學生猜想中位線與第三邊的位置關系和數(shù)量關系。一般說來，學生依照直覺都能做出正確的猜想，根據(jù)猜想的結(jié)果指引論證的方法。通過這個過程，肯定了學生自己思維的角度與方式，極大地增強他們直覺思維的積極性。其實像這樣依靠直覺猜想的結(jié)論來指引解題的方法，在數(shù)學學習中也是一種常用手段。教學中若教師只是按部就班地講授教學內(nèi)容，無暇讓學生對一些問題進行猜想或是無暇對學生的猜想進行評析、論證，或是對錯誤的猜想采取簡單的否定，這些做法都不利于培養(yǎng)學生的直覺思維，相反，還會扼殺學生的直覺思維。

三、在具體情境中培養(yǎng)學生的直覺思維

在教學中要重視問題情境的創(chuàng)設，它不僅可以使學生容易掌握數(shù)學知識和技能，還可以提高學生各方面的能力，當然也包含直覺思維能力。恰到好處的問題情境可以使學生憑直覺去發(fā)現(xiàn)問題，更好地體驗數(shù)學內(nèi)容的生動、有趣并富有現(xiàn)實意義的特點。例如：在上《生活中的軸對稱》這一節(jié)內(nèi)容時，筆者并沒有直接引入課題，而是先制作了多媒體課件，向?qū)W生展示了很多精美的對稱的圖片，有世界上有名的建筑，有美麗的山水圖，還有一些生活中常見的東西。讓學生觀察、發(fā)現(xiàn)這些圖片的共同點，引發(fā)了學生的極大興趣，然后才提出問題：我們這節(jié)課的內(nèi)容就與這些圖片中所表現(xiàn)出的共同的特點有關，你能猜出來嗎?很多學生幾乎是馬上答出：對稱，然后才引導學生去觀察。引入了課題后，在后面軸對稱的有關概念的學習中，學生始終興致盎然，很快掌握了有關的知識。筆者接著提出：我們生活中還有很多軸對稱圖形，也學過很多軸對稱圖形。全班同學爭先恐后地列舉起來，并說出了自己的理由，就連后面要學的線段、等腰三角形的有關性質(zhì)，也開始探討起來。這樣使學生的觀察能力得到了培養(yǎng)。心理學家指出：觀察是一種高級的知覺形式，其最可貴的品質(zhì)是從平常的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不平常的東西，從表象能看到本質(zhì)，從表面上貌似無關的東西中發(fā)現(xiàn)相似點或是某種關系。因此強的觀察力往往能促發(fā)直覺思維(如關聯(lián)直覺或辨?zhèn)沃庇X)，而且有利于形成深層的直覺思維。

四、在開放性練習中培養(yǎng)直覺思維

無意識的直覺思維之所以能產(chǎn)生“奇妙”的思想，其根本原因在于這種思維活動不受任何有意識的思維所必然具有的條條框框的束縛，從而就可以最自由地作出各種可能的組合或是必要的選擇。因此數(shù)學教學中，應鼓勵學生盡量從多角度對數(shù)學對象進行分析和思考，培養(yǎng)發(fā)散思維、逆向思維，讓思維變得有活力，有更強的靈活度，才可能形成并增強直覺思維。要鼓勵學生盡量從多角度對數(shù)學對象進行分析和思考，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和逆向思維，教學中就要有意識地設計一些條件不足或多余，沒有確定的結(jié)論或結(jié)論不唯一，解決問題的策略、思路多種多樣等開放性題目給學生訓練。在解決問題訓練時，也盡可能設計一些與現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密又有多種解決辦法的題目。如：某糧庫原定8小時運送糧食320噸，現(xiàn)在任務增加到480噸。該怎么辦?由于沒有規(guī)定解決問題的具體方式，學生可以自由地發(fā)散思維，根據(jù)實際情況進行假想，從而找到解決問題的多種辦法。《中國青年報》也曾報道：“約30％的初中生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數(shù)學學習的興趣”。長期以來，教師由于把證明過程過分地嚴格化、程序化，學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而感覺不到。學生的內(nèi)在潛能沒有被激發(fā)出來，學習的興趣沒有被調(diào)動起來，得不到思維的真正樂趣。還是龐加萊說得好：邏輯思維用于論證，直覺用于發(fā)明，直覺無處不在，直覺為人們打開發(fā)現(xiàn)真理的大門。

責任編輯：羅艷